Дополнительная часть При выполнении задания 9 выполните чертеж, запишите ход, обоснование решения и полученный ответ. 9. (3 балла) На рисунке изображена правильная треугольная пирамида SABC. 1. Обозначьте на ней точки К, N, М - середины ребер SA, SB, АВ соответственно. 2. Обозначьте т. F, которая делит ребро SC в отношении 1:3, считая от вершины S. 3. Соедините точки К, N, М прямыми NK, KF, NF, CM. 4. Из вершины пирамиды проведите перпендикуляр к плоскости АВС, который обозначьте SO. 5. Укажите прямую, параллельную плоскости АВС. Ответ обоснуйте. 6. Укажите прямые, скрещивающиеся с прямой АВ.

Решение:

1. Точки K, N, M обозначены как середины ребер SA, SB, AB соответственно.

2. Точка F обозначена на ребре SC так, что SF : FC = 1 : 3.

3. Точки K, N, M соединены прямыми NK, KF, NF, CM.

4. Из вершины S к плоскости ABC проведен перпендикуляр SO.

5. Прямая, параллельная плоскости ABC:

Так как K и N — середины ребер SA и SB соответственно, то отрезок KN является средней линией треугольника SAB. Следовательно, KN || AB.

Поскольку прямая KN лежит в плоскости KNF (или любой другой плоскости, содержащей KN) и параллельна прямой AB, которая также лежит в плоскости ABC, то для доказательства параллельности прямой KN плоскости ABC, нам нужно показать, что прямая KN не пересекает плоскость ABC.

Так как K и N — середины боковых ребер, они находятся выше плоскости основания. Прямая KN, соединяющая их, не имеет общих точек с плоскостью ABC. Следовательно, KN || ABC.

Обоснование: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости. Мы показали, что KN || AB, а AB лежит в плоскости ABC. Также прямое условие параллельности прямой и плоскости — прямая не пересекает плоскость.

6. Прямые, скрещивающиеся с прямой AB:

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

• Прямая SC: Прямая AB лежит в плоскости основания ABC. Прямая SC является боковым ребром пирамиды и не лежит в плоскости ABC. Также AB и SC не пересекаются.
• Прямая KN: Как было показано в пункте 5, KN || AB. Прямые, параллельные друг другу, не могут пересекаться. KN и AB не лежат в одной плоскости.
• Прямая NF: Прямая NF не лежит в плоскости ABC и не пересекает прямую AB.
• Прямая CM: Прямая CM не лежит в плоскости ABC и не пересекает прямую AB.
• Прямая SN: Прямая SN не лежит в плоскости ABC и не пересекает прямую AB.
• Прямая KM: Прямая KM не лежит в плоскости ABC и не пересекает прямую AB.

Ответ: 5. Прямая KN. Обоснование: KN - средняя линия треугольника SAB, поэтому KN || AB. Так как AB лежит в плоскости ABC, а прямая KN не лежит в плоскости ABC и не пересекает её, то KN || ABC.

6. Прямые SC, NF, SN, KM.