Домашнее задание 05.03.3024 Тема. Преобразование тригонометрических выражений 1. Найти значение выражения: 3 π 3 π a) sin cos + cos sin 7 14 7 14 B) sin 137° cos 47° - sin 47° cos 137°; 4 π π 4 б) cos cos - sin sin -π. 18 9 18 9 r) cos 29° cos 119° + sin 29° sin 119°. 2. Вычислите tg 15° - tg 60° 1)3+ 2) 2 sin 15° sin 75° – 1; 1 + tg 15° tg 60° tg 80° + tg 55° 4) 1-2 cos 75° cos 15°. +1; 1-tg 80° tg 55° 8 4π 10π + sin. 6) cos + cos + sin - sin -π. 9 9 7 7 5) cos π 7 6 π 5 4 5 3. Упростите выражение: 1) (1 + tg²a) cos²a + sin²a (1 + ctg2a); cos 6a sin ba 2) +2 cos 2a sin 2a (1 - sin²a) (sin 4a - sin 2a) 3) cosa + 2 cos 3a + cos 5a (1-cos²a) (cos 4a - cos 2a) 4) sina - 2 sin 3a + sin 5a

Ответ: Решения в разработке

1. Найти значение выражения:

1. a) \(\sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{\pi}{14} + \cos \frac{3\pi}{7} \sin \frac{\pi}{14}\)
Логика такая: используем формулу синуса суммы: \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\). Тогда выражение упрощается до \(\sin(\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi}{14}) = \sin(\frac{6\pi}{14} + \frac{\pi}{14}) = \sin(\frac{7\pi}{14}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\).
2. б) \(\cos \frac{\pi}{18} \cos \frac{4\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{4\pi}{9}\)
Разбираемся: применяем формулу косинуса суммы: \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Выражение становится \(\cos(\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{9}) = \cos(\frac{\pi}{18} + \frac{8\pi}{18}) = \cos(\frac{9\pi}{18}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0\).
3. в) \(\sin 137° \cos 47° - \sin 47° \cos 137°\)
Логика такая: используем формулу синуса разности: \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\). Тут нужно поменять местами слагаемые, чтобы получить \(\sin(137° - 47°) = \sin(90°) = 1\).
4. г) \(\cos 29° \cos 119° + \sin 29° \sin 119°\)
Разбираемся: используем формулу косинуса суммы: \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Выражение можно переписать как \(\cos(119° - 29°) = \cos(90°) = 0\).

2. Вычислите:

1. 1) \(3 + \frac{\operatorname{tg} 15^{\circ} - \operatorname{tg} 60^{\circ}}{1 + \operatorname{tg} 15^{\circ} \operatorname{tg} 60^{\circ}} \)
Смотри, тут всё просто: используем формулу тангенса разности: \(\operatorname{tg}(a - b) = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b}\). Выражение упрощается до \(3 + \operatorname{tg}(15^{\circ} - 60^{\circ}) = 3 + \operatorname{tg}(-45^{\circ}) = 3 - 1 = 2\).
2. 2) \(2 \sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ} - 1\)
Разбираемся: преобразуем выражение, используя формулу произведения синусов: \(2 \sin a \sin b = \cos(a - b) - \cos(a + b)\). \(2 \sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ} = \cos(15^{\circ} - 75^{\circ}) - \cos(15^{\circ} + 75^{\circ}) = \cos(-60^{\circ}) - \cos(90^{\circ}) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\). Тогда \(\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\).
3. 3) \(\frac{\operatorname{tg} 80^{\circ} + \operatorname{tg} 55^{\circ}}{1 - \operatorname{tg} 80^{\circ} \operatorname{tg} 55^{\circ}} + 1\)
Смотри, как это работает: используем формулу тангенса суммы: \(\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b}\). Получаем \(\operatorname{tg}(80^{\circ} + 55^{\circ}) + 1 = \operatorname{tg}(135^{\circ}) + 1 = -1 + 1 = 0\).
4. 4) \(1 - 2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}\)
Логика такая: преобразуем выражение, используя формулу произведения косинусов: \(2 \cos a \cos b = \cos(a - b) + \cos(a + b)\). \(2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ} = \cos(75^{\circ} - 15^{\circ}) + \cos(75^{\circ} + 15^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) + \cos(90^{\circ}) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}\). Тогда \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
5. 5) \(\cos \frac{\pi}{9} + \cos \frac{8\pi}{9} + \sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{10\pi}{7}\)
Разбираемся: заметим, что \(\cos \frac{8\pi}{9} = \cos (\pi - \frac{\pi}{9}) = -\cos \frac{\pi}{9}\) и \(\sin \frac{10\pi}{7} = \sin (\pi + \frac{3\pi}{7}) = -\sin \frac{3\pi}{7} = -\sin (\pi - \frac{4\pi}{7}) = -\sin \frac{4\pi}{7}\). Значит, \(\cos \frac{\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{9} + \sin \frac{4\pi}{7} - \sin \frac{4\pi}{7} = 0\).
6. 6) \(\cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} + \sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{4\pi}{5}\)
Разбираемся: заметим, что \(\cos \frac{6\pi}{7} = \cos (\pi - \frac{\pi}{7}) = -\cos \frac{\pi}{7}\) и \(\sin \frac{4\pi}{5} = \sin (\pi - \frac{\pi}{5}) = \sin \frac{\pi}{5}\). Значит, \(\cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{5} = 0\).

3. Упростите выражение:

1. 1) \((1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha (1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha)\)
Логика такая: используем тождества \(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\) и \(1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\). Тогда выражение упрощается до \(\frac{1}{\cos^2 \alpha} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + 1 = 2\).
2. 2) \(\frac{\cos 6\alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{\sin 6\alpha}{\sin 2\alpha} + 2\)
Разбираемся: приведем к общему знаменателю: \(\frac{\cos 6\alpha \sin 2\alpha - \sin 6\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \sin 2\alpha} + 2 = \frac{\sin (2\alpha - 6\alpha)}{\cos 2\alpha \sin 2\alpha} + 2 = \frac{\sin (-4\alpha)}{\cos 2\alpha \sin 2\alpha} + 2 = \frac{-2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \sin 2\alpha} + 2 = -2 + 2 = 0\).
3. 3) \(\frac{(1 - \sin^2 \alpha) (\sin 4\alpha - \sin 2\alpha)}{\cos \alpha + 2 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}\)
Логика такая: \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\). Преобразуем знаменатель, используя формулы суммы косинусов: \(\cos \alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha\). Знаменатель становится \(2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha + 2 \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha + 1)\). Числитель \(\cos^2 \alpha (2 \cos 3\alpha \sin \alpha)\).
4. 4) \(\frac{\cos a + 2 \cos 3a + \cos 5a}{\sin a - 2 \sin 3a + \sin 5a}\)

Ответ: Решения в разработке