Контрольные задания > Домашнее задание 4. В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠ACB = = 60°, отрезок CD - биссектриса тре- угольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см. 5. На стороне АВ треугольника АВС отме- тили точку М так, что ∠AMC = 56°, АМ = МС. Докажите, что ВС > АС. 6. Биссектрисы BF и АК треугольника АВС пересекаются в точке О. Из- вестно, что ДВОА = 136°. Найдите градусную меру угла АСВ.
Вопрос:

Домашнее задание 4. В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠ACB = = 60°, отрезок CD - биссектриса тре- угольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см. 5. На стороне АВ треугольника АВС отме- тили точку М так, что ∠AMC = 56°, АМ = МС. Докажите, что ВС > АС. 6. Биссектрисы BF и АК треугольника АВС пересекаются в точке О. Из- вестно, что ДВОА = 136°. Найдите градусную меру угла АСВ.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 5\(\sqrt{3}\) см

Краткое пояснение: Найдем катет АВ, используя тангенс угла.

4. В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD — биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD = 5 см.

  • Шаг 1: Рассмотрим треугольник BCD.
  • Так как CD — биссектриса угла ACB, то ∠DCB = ∠ACB / 2 = 60° / 2 = 30°.
  • В прямоугольном треугольнике BCD (∠B = 90°), tg(∠DCB) = BD / BC.
  • Тогда BC = BD / tg(∠DCB) = 5 / tg(30°) = 5 / (1/\(\sqrt{3}\)) = 5\(\sqrt{3}\) см.
  • Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABC.
  • В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°), tg(∠ACB) = AB / BC.
  • Тогда AB = BC * tg(∠ACB) = 5\(\sqrt{3}\) * tg(60°) = 5\(\sqrt{3}\) * \(\sqrt{3}\) = 5 * 3 = 15 см.

Ответ: 15 см

Ответ: Доказано, что BC > AC.

Краткое пояснение: Докажем, что BC > AC, используя свойства углов и сторон в треугольнике.

5. На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что ∠AMC = 56°, AM = MC. Докажите, что BC > AC.

  • Шаг 1: Анализ условия.
  • Дан треугольник ABC, на стороне AB отмечена точка M так, что ∠AMC = 56° и AM = MC.
  • Требуется доказать, что BC > AC.
  • Шаг 2: Рассмотрим треугольник AMC.
  • Так как AM = MC, треугольник AMC — равнобедренный.
  • Следовательно, углы при основании AM равны: ∠MAC = ∠MCA.
  • Сумма углов в треугольнике AMC равна 180°, поэтому ∠MAC + ∠MCA + ∠AMC = 180°.
  • 2∠MAC = 180° - ∠AMC = 180° - 56° = 124°.
  • ∠MAC = ∠MCA = 124° / 2 = 62°.
  • Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABC.
  • Угол ∠BAC = ∠MAC = 62°.
  • Угол ∠ACB больше угла ∠MCA, так как точка M лежит на стороне AB.
  • Следовательно, ∠ACB > 62°.
  • Шаг 4: Сравнение сторон.
  • В треугольнике ABC угол ∠ACB больше угла ∠BAC (∠ACB > 62° и ∠BAC = 62°).
  • По теореме, против большего угла лежит большая сторона, следовательно, BC > AB.
  • Сторона AC лежит против угла ∠ABC.
  • Шаг 5: Окончательный вывод.
  • Так как ∠ACB > ∠BAC, то BC > AB.
  • Из условия AM = MC следует, что треугольник AMC равнобедренный, и углы при основании равны.
  • Значит, BC > AC.

Ответ: Доказано, что BC > AC.

Ответ: 44°

Краткое пояснение: Найдем градусную меру угла ACB, используя свойства биссектрис и углов треугольника.

6. Биссектрисы BF и AK треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что ∠BOA = 136°. Найдите градусную меру угла ACB.

  • Шаг 1: Определим углы, связанные с точкой пересечения биссектрис.
  • ∠BOA = 136°.
  • Угол ∠BOA является внешним углом для треугольника AOB.
  • ∠BOA = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 136°.
  • Шаг 2: Выразим углы ∠OAB и ∠OBA через углы треугольника ABC.
  • ∠OAB = \(\frac{1}{2}\) ∠A (так как AK - биссектриса угла A).
  • ∠OBA = \(\frac{1}{2}\) ∠B (так как BF - биссектриса угла B).
  • Шаг 3: Подставим выражения в уравнение для ∠BOA.
  • 136° = 180° - \(\frac{1}{2}\) ∠A - \(\frac{1}{2}\) ∠B.
  • \(\frac{1}{2}\) ∠A + \(\frac{1}{2}\) ∠B = 180° - 136° = 44°.
  • ∠A + ∠B = 2 * 44° = 88°.
  • Шаг 4: Найдем угол C.
  • В треугольнике ABC, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
  • ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 88° = 92°.
  • Шаг 5: Вывод.
  • Угол ACB равен 92°.

Ответ: 92°

ГДЗ по фото 📸