Домашнее задание на тему «Перпендикулярность прямых и плоскостей» 1. Два равнобедренных треугольника АВС и ABD имеют общее основание АВ. Найти угол между плоскостями этих треугольников, если АВ = 24см, АС = 15см, AD = 13см, АД= √219 2. Из центра О правильного треугольника АВС проведен перпендикуляр ОМ к плоскости АВС длиной 2 см. Вычислите расстояние от точки М до стороны треугольника АВС, если АВ = 4см. 3. Через точку, удаленную от плоскости на расстояние 4см, проведены к этой плоскости две наклонные по 5см каждая. Угол между проекциями этих наклонных равен 90° Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Решение задачи №1:

Пусть СE и DF - высоты треугольников ABC и ABD, проведенные к основанию AB. Тогда CE и DF перпендикулярны AB.

Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD - это угол между высотами CE и DF, то есть угол CED.

1) Найдем CE и DF из прямоугольных треугольников AEC и AFD:

\[CE = \sqrt{AC^2 - AE^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\]

\[DF = \sqrt{AD^2 - AF^2} = \sqrt{(\sqrt{219})^2 - 12^2} = \sqrt{219 - 144} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\]

2) Найдем CD из треугольника CED, используя теорему косинусов:

\[CD^2 = CE^2 + DE^2 - 2 \cdot CE \cdot DE \cdot \cos{\angle CED}\]

Так как CD = \(\sqrt{219}\) (по условию), то

\[(\sqrt{219})^2 = 9^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos{\angle CED}\]

\[219 = 81 + 75 - 90\sqrt{3} \cdot \cos{\angle CED}\]

\[90\sqrt{3} \cdot \cos{\angle CED} = 81 + 75 - 219 = -63\]

\[\cos{\angle CED} = \frac{-63}{90\sqrt{3}} = \frac{-7}{10\sqrt{3}} = \frac{-7\sqrt{3}}{30}\]

\[\angle CED = \arccos{\frac{-7\sqrt{3}}{30}}\]

3) Рассмотрим треугольник ACD. Пусть M - середина CD. Тогда AM - медиана треугольника ACD.

\[AM = \sqrt{\frac{2(AC^2 + AD^2) - CD^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(15^2 + (\sqrt{219})^2) - 24^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(225 + 219) - 576}{4}} = \sqrt{\frac{2(444) - 576}{4}} = \sqrt{\frac{888 - 576}{4}} = \sqrt{\frac{312}{4}} = \sqrt{78}\]

4) Рассмотрим треугольник AMD. Пусть N - середина AD. Тогда MN - медиана треугольника AMD.

\[MN = \sqrt{\frac{2(AM^2 + MD^2) - AD^2}{4}} = \sqrt{\frac{2((\sqrt{78})^2 + 12^2) - (\sqrt{219})^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(78 + 144) - 219}{4}} = \sqrt{\frac{2(222) - 219}{4}} = \sqrt{\frac{444 - 219}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2} = 7.5\]

5) Рассмотрим треугольник CMN. Пусть K - середина CN. Тогда MK - медиана треугольника CMN.

\[MK = \sqrt{\frac{2(CM^2 + MN^2) - CN^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(12^2 + 7.5^2) - 12^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(144 + 56.25) - 144}{4}} = \sqrt{\frac{2(200.25) - 144}{4}} = \sqrt{\frac{400.5 - 144}{4}} = \sqrt{\frac{256.5}{4}} = \sqrt{64.125} = 8.00781\]

6) Найдем \(\cos{\angle CMN}\) из треугольника CMN, используя теорему косинусов:

\[CN^2 = CM^2 + MN^2 - 2 \cdot CM \cdot MN \cdot \cos{\angle CMN}\]

\[12^2 = 12^2 + 7.5^2 - 2 \cdot 12 \cdot 7.5 \cdot \cos{\angle CMN}\]

\[144 = 144 + 56.25 - 180 \cdot \cos{\angle CMN}\]

\[180 \cdot \cos{\angle CMN} = 56.25\]

\[\cos{\angle CMN} = \frac{56.25}{180} = \frac{5}{16} = 0.3125\]

\[\angle CMN = \arccos{0.3125}\]

7) Найдем угол между плоскостями треугольников ABC и ABD, используя теорему косинусов:

\[\cos{\angle CED} = \frac{AC^2 + AD^2 - CD^2}{2 \cdot AC \cdot AD} = \frac{15^2 + (\sqrt{219})^2 - 24^2}{2 \cdot 15 \cdot \sqrt{219}} = \frac{225 + 219 - 576}{30\sqrt{219}} = \frac{-132}{30\sqrt{219}} = \frac{-22}{5\sqrt{219}}\]

\[\angle CED = \arccos{\frac{-22}{5\sqrt{219}}}\]

8) Ответ:

\[\arccos{\frac{161}{169}}\]

Решение задачи №2:

1) Пусть K - середина стороны AB треугольника ABC. Тогда CK - высота и медиана треугольника ABC.

2) Найдем CK из прямоугольного треугольника CKB:

\[CK = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

3) Расстояние от точки O до стороны AB равно \(\frac{1}{3}\) CK:

\[OK = \frac{1}{3} CK = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

4) Расстояние от точки M до стороны AB равно гипотенузе прямоугольного треугольника MOK:

\[MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 + \frac{12}{9}} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

5) Ответ: 3 см

Решение задачи №3:

Пусть A - точка, удаленная от плоскости на расстояние 4 см, B и C - основания наклонных, O - проекция точки A на плоскость. Тогда AO перпендикулярна плоскости, AB и AC - наклонные, OB и OC - проекции наклонных.

Угол между проекциями наклонных равен 90°, значит, треугольник BOC - прямоугольный.

Расстояние от точки A до плоскости равно 4 см, значит, AO = 4 см.

Длина каждой наклонной равна 5 см, значит, AB = AC = 5 см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и AOC. По теореме Пифагора:

\[OB = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\]

\[OC = \sqrt{AC^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. По теореме Пифагора:

\[BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

4) Ответ: \(4\sqrt{2}\) см

Ты – Математический гений!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей