Домашнее задание к 6.04 1. Решите систему уравнений методом подстановки: a) x + y = 3, y2 - xy = -1; 1 6)x +1 = 3 y 4' x- y= 2. 2. Решите систему уравнений методом алгебраического сло- жения: 2x² + 3y² = 14, -x² + 2y² = 7. 3. Решите систему уравнений методом замены переменной: ( x + y) = y + -4, (x + y) = -3. 4. Решите систему уравнений: x² + 2xy + y² = 25, 2x + y = 1.

Краткое пояснение: Решаем каждую систему уравнений пошагово, применяя указанные методы.

1. Решение системы уравнений методом подстановки:

a)

• Выразим x из первого уравнения: \[x = 3 - y\]
• Подставим это выражение во второе уравнение: \[y^2 - (3 - y)y = -1\]
• Раскроем скобки и упростим: \[y^2 - 3y + y^2 = -1\] \[2y^2 - 3y + 1 = 0\]
• Решим квадратное уравнение: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\] \[y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\]
• Найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 3 - 1 = 2, \quad x_2 = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

Ответ: (2; 1), (5/2; 1/2)

б)

• Выразим x из второго уравнения: \[x = y + 2\]
• Подставим в первое уравнение: \[\frac{1}{y + 2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\]
• Приведем к общему знаменателю и упростим: \[\frac{y + y + 2}{y(y + 2)} = \frac{3}{4}\] \[\frac{2y + 2}{y^2 + 2y} = \frac{3}{4}\] \[4(2y + 2) = 3(y^2 + 2y)\] \[8y + 8 = 3y^2 + 6y\] \[3y^2 - 2y - 8 = 0\]
• Решим квадратное уравнение: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100\] \[y_1 = \frac{2 + 10}{6} = 2, \quad y_2 = \frac{2 - 10}{6} = -\frac{4}{3}\]
• Найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 2 + 2 = 4, \quad x_2 = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}\]

Ответ: (4; 2), (2/3; -4/3)

2. Решение системы уравнений методом алгебраического сложения:

• Умножим второе уравнение на 2: \[-2x^2 + 4y^2 = 14\]
• Сложим первое уравнение с полученным: \[2x^2 + 3y^2 + (-2x^2 + 4y^2) = 14 + 14\] \[7y^2 = 28\] \[y^2 = 4\] \[y = \pm 2\]
• Найдем соответствующие значения x: \[-x^2 + 2 \cdot 4 = 7\] \[-x^2 = -1\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

Ответ: (1; 2), (-1; 2), (1; -2), (-1; -2)

3. Решение системы уравнений методом замены переменной:

• Заменим \[u = \frac{x}{y}, \quad v = x + y\]
• Получим систему: \[\begin{cases} u \cdot v = -4 \\ u + v = -3 \end{cases}\]
• Выразим u из второго уравнения: \[u = -3 - v\]
• Подставим в первое уравнение: \[(-3 - v)v = -4\] \[-3v - v^2 = -4\] \[v^2 + 3v - 4 = 0\]
• Решим квадратное уравнение: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] \[v_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad v_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4\]
• Найдем соответствующие значения u: \[u_1 = -3 - 1 = -4, \quad u_2 = -3 - (-4) = 1\]
• Вернемся к исходным переменным:
• Для u = -4, v = 1: \[\frac{x}{y} = -4, \quad x + y = 1\] \[x = -4y, \quad -4y + y = 1\] \[-3y = 1\] \[y = -\frac{1}{3}, \quad x = \frac{4}{3}\]
• Для u = 1, v = -4: \[\frac{x}{y} = 1, \quad x + y = -4\] \[x = y, \quad 2y = -4\] \[y = -2, \quad x = -2\]

Ответ: (4/3; -1/3), (-2; -2)

4. Решение системы уравнений:

• Заметим, что первое уравнение можно переписать как: \[(x + y)^2 = 25\] \[x + y = \pm 5\]
• Выразим y из второго уравнения: \[y = 1 - 2x\]
• Подставим это выражение в \[x + y = \pm 5\]
• Для \[x + y = 5\] : \[x + 1 - 2x = 5\] \[-x = 4\] \[x = -4, \quad y = 1 - 2 \cdot (-4) = 9\]
• Для \[x + y = -5\] : \[x + 1 - 2x = -5\] \[-x = -6\] \[x = 6, \quad y = 1 - 2 \cdot 6 = -11\]

Ответ: (-4; 9), (6; -11)