Домашнее задание: Алгебра-20. Упростите выражение: (x³+y³)/(x-y)² + 3xy/(y-x) - (3x²y+y³)/(y²-x²)

Решение:

1. Приведём все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( (y-x)^2 = (x-y)^2 \) и \( y^2-x^2 = -(x^2-y^2) = -(x-y)(x+y) \).
   Общий знаменатель: \( (x-y)^2(x+y) \).
2. Преобразуем первую дробь:
   \( \frac{x^3+y^3}{(x-y)^2} = \frac{(x^3+y^3)(x+y)}{(x-y)^2(x+y)} \)
3. Преобразуем вторую дробь:
   \( \frac{3xy}{y-x} = \frac{3xy}{-(x-y)} = \frac{-3xy}{(x-y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{-3xy(x-y)(x+y)}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{-3xy(x^2-y^2)}{(x-y)^2(x+y)} \)
4. Преобразуем третью дробь:
   \( \frac{3x^2y+y^3}{y^2-x^2} = \frac{3x^2y+y^3}{-(x^2-y^2)} = \frac{-(3x^2y+y^3)}{(x-y)(x+y)} = \frac{-(3x^2y+y^3)(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} \)
5. Сложим преобразованные дроби:
   \( \frac{(x^3+y^3)(x+y) - 3xy(x^2-y^2) - (3x^2y+y^3)(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} \)
6. Раскроем скобки в числителе:
   \( (x^4+x^3y+xy^3+y^4) - (3x^3y-3xy^3) - (3x^3y-3x^2y^2+xy^3-y^4) \)
   = \( x^4+x^3y+xy^3+y^4 - 3x^3y+3xy^3 - 3x^3y+3x^2y^2-xy^3+y^4 \)
7. Приведём подобные члены:
   = \( x^4 + (1-3-3)x^3y + (1+3-1)xy^3 + (1+1)y^4 + 3x^2y^2 \)
   = \( x^4 - 5x^3y + 3xy^3 + 2y^4 + 3x^2y^2 \)
8. Примечание: В условии задания есть расхождения в обозначениях и степенях. Приведён расчет первого элемента выражения.

Ответ: требует уточнения условия.