Дома: 1) $\frac{c^2}{c-8} = \frac{8c}{c-8}$ 2) $\frac{4x+1}{x-2} - \frac{x+5}{x-2}$ 3) $\frac{2x+3}{x-1} = \frac{5}{1-x}$ 4) $\frac{y-5}{y+1} = \frac{3y+1}{y-3}$

Question

$Фото задания: Дома: 1) $\frac{c^2}{c-8} = \frac{8c}{c-8}$ 2) $\frac{4x+1}{x-2} - \frac{x+5}{x-2}$ 3) \(\frac{2x+3}{x-1} =…$ Фото задания

Accepted Answer

1. $\frac{c^2}{c-8} = \frac{8c}{c-8}$

Умножим обе части уравнения на $ c-8 $, чтобы избавиться от знаменателя. При этом $ c \neq 8 $.
$ c^2 = 8c $
Перенесём всё в левую часть: $ c^2 - 8c = 0 $
Вынесем $ c $ за скобки: $ c(c - 8) = 0 $
Получим два возможных решения: $ c = 0 $ или $ c - 8 = 0 $, что даёт $ c = 8 $.
Однако, мы помним, что $ c \neq 8 $. Значит, $ c = 8 $ — посторонний корень.

Ответ: $ c = 0 $.

2. $\frac{4x+1}{x-2} - \frac{x+5}{x-2}$

Приведём к общему знаменателю $ x-2 $. Так как знаменатели одинаковые, вычитаем числители:
$ \frac{(4x+1) - (x+5)}{x-2} $
Раскроем скобки в числителе: $ \frac{4x+1-x-5}{x-2} $
Приведём подобные слагаемые в числителе: $ \frac{3x-4}{x-2} $

Ответ: $\frac{3x-4}{x-2}$.

3. $\frac{2x+3}{x-1} = \frac{5}{1-x}$

Заметим, что $ 1-x = -(x-1) $. Поэтому вторую дробь можно переписать как $ \frac{-5}{x-1} $.
Теперь уравнение выглядит так: $ \frac{2x+3}{x-1} = \frac{-5}{x-1} $.
Приведём к общему знаменателю $ x-1 $. Умножим обе части уравнения на $ x-1 $. При этом $ x \neq 1 $.
$ 2x+3 = -5 $
Перенесём 3 в правую часть: $ 2x = -5 - 3 $
$ 2x = -8 $
Разделим на 2: $ x = -4 $
Так как $ x \neq 1 $, то $ x = -4 $ является решением.

Ответ: $ x = -4 $.

4. $\frac{y-5}{y+1} = \frac{3y+1}{y-3}$

Перемножим крест-накрест (числитель первой дроби на знаменатель второй, и наоборот). При этом $ y \neq -1 $ и $ y \neq 3 $.
$ (y-5)(y-3) = (3y+1)(y+1) $
Раскроем скобки: $ y^2 - 3y - 5y + 15 = 3y^2 + 3y + y + 1 $
$ y^2 - 8y + 15 = 3y^2 + 4y + 1 $
Перенесём все члены в правую часть: $ 3y^2 + 4y + 1 - y^2 + 8y - 15 = 0 $
Приведём подобные слагаемые: $ 2y^2 + 12y - 14 = 0 $
Разделим всё уравнение на 2: $ y^2 + 6y - 7 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Можно по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета: $ y_1 + y_2 = -6 $ и $ y_1 · y_2 = -7 $. Подходят корни $ y = 1 $ и $ y = -7 $.
Проверим, что $ y \neq -1 $ и $ y \neq 3 $. Оба корня подходят.

Ответ: $ y = 1, y = -7 $.

Дома: 1) \(\frac{c^2}{c-8} = \frac{8c}{c-8}\) 2) \(\frac{4x+1}{x-2} - \frac{x+5}{x-2}\) 3) \(\frac{2x+3}{x-1} = \frac{5}{1-x}\) 4) \(\frac{y-5}{y+1} = \frac{3y+1}{y-3}\)