153. Докажите тождество: tg(a + ẞ) - (tga + tgẞ) - tg(a + β)tgatgẞ = 0. 154. Пользуясь формулами сложения, найдите: 1) cos 75°; 2) ctg 75°. 155. Дано: cos a = -9/41. 90° < a < 180° Найдите cos(a + 45°). 156. Дано: cosa = 0.8. cosẞ = -0,96, 270° < α < 360°, 180° < β < 270°. Найдите sin(α – β). 157. Найдите наименьшее значение выражения: 1) sin a + cosa; 2) 2 sin a - 7 cos a. 158. Приведите к тригонометрической функции угла с: 1) sin(3π/2-a): 2) cos(π+α); 3) ctg(π/2-α); 4) tg(α-3π/2); 5) lg²(5π/2-a); 6) sin²(180° +α). 159. Приведите к значению тригонометрической функции положи- тельного аргумента, меньшего 45° или (или): 1) sin 204°; 5) sin 500°; 9) tg 925°; 2) cos 250°; 6) ctg(-108°); 10) sin 1600°; 3) tg 285°; 7) sin 1,6π; 11) ctg2,4π; 4) ctg 343°; 8) cos 7π/11; 12) sin 32π/7. 160. Вычислите: 1) sin 150°; 4) tg (-13π/6); 7) tg 1050°; 2) cos 135°: 5) sin 5π/3; 8) cos 43π/4; 3) ctg 300°; 6) sin 7π; 9) sin (-58π/3). 161. Найдите значение выражения: 1) 2sin210° + tg240° + ctg 120° + 6 cos450°; 2) sin(-11π/6) cos(19π/6) + tg(5π/4) ctg(-5π/3); 3) cos 30° + cos40° + cos 50° + ... + cos 150°; 4) sin 113°cos 323° + cos 247° cos 307°. 162. Упростите выражение: 1) sin(π/2-a)-sin(π-α) - cos(π-α) - sin(2π - α);

• 153. Докажите тождество:

\[\tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = 0\] Используем формулу тангенса суммы: \[\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}\] Подставим в исходное выражение: \[\frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta} - (\tg\alpha + \tg\beta) - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta} \cdot \tg\alpha\tg\beta\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{(\tg\alpha + \tg\beta) - (\tg\alpha + \tg\beta)(1 - \tg\alpha\tg\beta) - (\tg\alpha + \tg\beta)\tg\alpha\tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}\] Раскроем скобки: \[\frac{\tg\alpha + \tg\beta - \tg\alpha + \tg^2\alpha\tg\beta - \tg\beta + \tg\alpha\tg^2\beta - \tg^2\alpha\tg\beta - \tg\alpha\tg^2\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}\] После упрощения числитель равен 0, следовательно, все выражение равно 0. \[0 = 0\] Тождество доказано.

• 154. Используя формулы сложения, найдите:

1. cos 75°

\[\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\]

2. ctg 75°

\[\ctg 75° = \frac{\cos 75°}{\sin 75°}\] \[\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\] \[\ctg 75° = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}\]

• 155. Дано: cos a = -9/41, 90° < a < 180°. Найдите cos(a + 45°).

\[\cos(\alpha + 45°) = \cos\alpha \cos 45° - \sin\alpha \sin 45°\] \[\cos\alpha = -\frac{9}{41}\] Т.к. \(90° < \alpha < 180°\), то \(\sin\alpha > 0\). \[\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{9}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41}\] \[\cos(\alpha + 45°) = -\frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{40}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{49\sqrt{2}}{82}\]

• 156. Дано: cosa = 0.8, cosẞ = -0,96, 270° < α < 360°, 180° < β < 270°. Найдите sin(α – β).

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta\] \[\cos\alpha = 0.8 = \frac{4}{5}\] Т.к. \(270° < \alpha < 360°\), то \(\sin\alpha < 0\). \[\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} = -0.6\] \[\cos\beta = -0.96 = -\frac{24}{25}\] Т.к. \(180° < \beta < 270°\), то \(\sin\beta < 0\). \[\sin\beta = -\sqrt{1 - \cos^2\beta} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{576}{625}} = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25} = -0.28\] \[\sin(\alpha - \beta) = (-0.6) \cdot (-0.96) - 0.8 \cdot (-0.28) = 0.576 + 0.224 = 0.8\]

• 157. Найдите наименьшее значение выражения:

1. sin a + cosa

\[\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\right) = \sqrt{2}(\cos 45° \sin\alpha + \sin 45° \cos\alpha) = \sqrt{2}\sin(\alpha + 45°)\] Наименьшее значение синуса равно -1, значит, наименьшее значение выражения равно \(-\sqrt{2}\).

2. 2 sin a - 7 cos a.

Преобразуем выражение к виду \(R\sin(\alpha + \varphi)\), где \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\): \[R = \sqrt{2^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}\] Тогда выражение можно записать как: \[\sqrt{53} \left(\frac{2}{\sqrt{53}}\sin\alpha - \frac{7}{\sqrt{53}}\cos\alpha\right)\] Пусть \(\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{53}}\) и \(\sin\varphi = \frac{7}{\sqrt{53}}\, тогда исходное выражение равно: \[\sqrt{53}(\cos\varphi \sin\alpha - \sin\varphi \cos\alpha) = \sqrt{53}\sin(\alpha - \varphi)\] Наименьшее значение синуса равно -1, значит, наименьшее значение выражения равно \(-\sqrt{53}\).

• 158. Приведите к тригонометрической функции угла α:

1. sin(3π/2-a)

\[\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha\]

2. cos(π+α)

\[\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\]

3. ctg(π/2-α)

\[\ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tg\alpha\]

4. tg(α-3π/2)

\[\tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \tg(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-\ctg\alpha) = \ctg\alpha\]

5. 18²(5π/2-a)

\[\lg^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \lg^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \lg^2(\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi) = \lg^2\alpha\]

6. sin²(180° +α).

\[\sin^2(180° + \alpha) = \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha\]

• 159. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или π/4):

1. sin 204°

\[\sin 204° = \sin(180° + 24°) = -\sin 24°\]

2. cos 250°

\[\cos 250° = \cos(180° + 70°) = -\cos 70° = -\sin 20°\]

3. tg 285°

\[\tg 285° = \tg(360° - 75°) = -\tg 75° = -\ctg 15°\]

4. ctg 343°

\[\ctg 343° = \ctg(360° - 17°) = -\ctg 17°\]

5. sin 500°

\[\sin 500° = \sin(360° + 140°) = \sin 140° = \sin(180° - 40°) = \sin 40°\]

6. ctg(-108°)

\[\ctg(-108°) = -\ctg 108° = -\ctg(180° - 72°) = \ctg 72° = \tg 18°\]

7. sin 1,6π

\[\sin 1.6\pi = \sin(1.6\pi - \pi) = \sin 0.6\pi = \sin 108° = \sin(180° - 72°) = \sin 72° = \cos 18°\]

8. cos 7π/11

\[\cos\frac{7\pi}{11} = \cos(\pi - \frac{4\pi}{11}) = -\cos\frac{4\pi}{11}\] Переведем в градусы, чтобы оценить величину угла: \[\frac{4\pi}{11} = \frac{4 \cdot 180°}{11} = \frac{720°}{11} \approx 65.45°\] \[-\cos\frac{4\pi}{11} = -\cos(90° - \frac{19\pi}{22}) = -\sin\frac{19\pi}{22}\] Т.к. нам нужно получить угол меньше 45°, необходимо преобразовать выражение еще раз: \[\cos\frac{7\pi}{11} = -\cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{11})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{11}) = -\sin(\frac{11\pi - 14\pi}{22}) = -\sin(-\frac{3\pi}{22}) = \sin\frac{3\pi}{22}\] Переведем в градусы для проверки: \[\frac{3\pi}{22} = \frac{3 \cdot 180°}{22} = \frac{540°}{22} \approx 24.55°\]

9. tg 925°

\[\tg 925° = \tg(2 \cdot 360° + 205°) = \tg 205° = \tg(180° + 25°) = \tg 25°\]

10. sin 1600°

\[\sin 1600° = \sin(4 \cdot 360° + 160°) = \sin 160° = \sin(180° - 20°) = \sin 20°\]

11. ctg 2,4π

\[\ctg 2.4\pi = \ctg(2.4\pi - 2\pi) = \ctg 0.4\pi = \ctg 72° = \tg 18°\]

12. sin 32π/7.

\[\sin\frac{32\pi}{7} = \sin(\frac{32\pi}{7} - 4\pi) = \sin(\frac{32\pi - 28\pi}{7}) = \sin\frac{4\pi}{7}\] \[\sin\frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7}\] Переведем в градусы для оценки: \[\frac{3\pi}{7} = \frac{3 \cdot 180°}{7} = \frac{540°}{7} \approx 77.14°\] \[\sin\frac{3\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{2} + (\frac{3\pi}{7} - \frac{\pi}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7})) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 6\pi}{14}) = \cos\frac{\pi}{14}\] В градусах это \(\frac{180°}{14} \approx 12.86°\).

• 160. Вычислите:

1. sin 150°

\[\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\]

2. cos 135°

\[\cos 135° = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

3. ctg 300°

\[\ctg 300° = \ctg(360° - 60°) = -\ctg 60° = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

4. tg (-13π/6)

\[\tg(-\frac{13\pi}{6}) = -\tg\frac{13\pi}{6} = -\tg(2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\tg\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

5. sin 5π/3

\[\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

6. sin 7π

\[\sin 7\pi = \sin(6\pi + \pi) = \sin\pi = 0\]

7. tg 1050°

\[\tg 1050° = \tg(3 \cdot 360° - 30°) = \tg(-30°) = -\tg 30° = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

8. cos 43π/4

\[\cos\frac{43\pi}{4} = \cos(10\pi + \frac{3\pi}{4}) = \cos\frac{3\pi}{4} = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

9. sin (-58π/3)

\[\sin(-\frac{58\pi}{3}) = -\sin\frac{58\pi}{3} = -\sin(19\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -(-\sin\frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

• 161. Найдите значение выражения:

1. 2sin210° + tg240° + ctg 120° + 6 cos450°

\[2\sin 210° + \tg 240° + \ctg 120° + 6 \cos 450° = 2 \sin(180° + 30°) + \tg(180° + 60°) + \ctg(90° + 30°) + 6 \cos(360° + 90°) = 2(-\sin 30°) + \tg 60° - \tg 30° + 6 \cos 90° = 2(-\frac{1}{2}) + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} + 6 \cdot 0 = -1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

2. sin(-11π/6) cos(19π/6) + tg(5π/4) ctg(-5π/3)

\[\sin(-\frac{11\pi}{6}) \cos(\frac{19\pi}{6}) + \tg(\frac{5\pi}{4}) \ctg(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(-\frac{11\pi}{6} + 2\pi) \cos(\frac{19\pi}{6} - 3\pi) + \tg(\frac{5\pi}{4} - \pi) \ctg(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6}) + \tg(\frac{\pi}{4}) \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{12} = \frac{7\sqrt{3}}{12}\]

3. cos 30° + cos40° + cos 50° + ... + cos 150°

Сгруппируем косинусы следующим образом: \[(\cos 30° + \cos 150°) + (\cos 40° + \cos 140°) + (\cos 50° + \cos 130°) + (\cos 60° + \cos 120°) + (\cos 70° + \cos 110°) + (\cos 80° + \cos 100°) + \cos 90°\] Т.к. \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\), то каждая пара в скобках равна 0, а \(\cos 90° = 0\). Следовательно, все выражение равно 0. \[0\]

4. sin 113°cos 323° + cos 247° cos 307°

\[\sin 113° \cos 323° + \cos 247° \cos 307° = \sin(90° + 23°) \cos(360° - 37°) + \cos(180° + 67°) \cos(360° - 53°) = \cos 23° \cos 37° - \cos 67° \cos 53°\] Т.к. \(\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha\), то \(\cos 67° = \sin 23°\) и \(\cos 53° = \sin 37°\). \[\cos 23° \cos 37° - \sin 23° \sin 37° = \cos(23° + 37°) = \cos 60° = \frac{1}{2}\]

• 162. Упростите выражение:

1. sin(π/2-a)-sin(π-α) - cos(π-α) - sin(2π - α)

\[\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha) - \sin(2\pi - \alpha) = \cos\alpha - \sin\alpha - (-\cos\alpha) - (-\sin\alpha) = \cos\alpha - \sin\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha = 2\cos\alpha\]