Докажите тождество: \(\left(\frac{a^2}{a+5}-\frac{a^3}{a^2+10a+25}\right):\left(\frac{a}{a+5}-\frac{a^2}{a^2-25}\right)=\frac{5a-a^2}{a+5}\).

Область допустимых значений: \(a\ne -5\) и \(a\ne 5\), чтобы знаменатели не обращались в ноль; кроме того, делитель не должен быть равен нулю.

Упростим первое выражение. Так как \(a^2+10a+25=(a+5)^2\), получаем:

\[\frac{a^2}{a+5}-\frac{a^3}{(a+5)^2}=\frac{a^2(a+5)-a^3}{(a+5)^2}=\frac{5a^2}{(a+5)^2}.\]

Упростим делитель, разложив \(a^2-25=(a-5)(a+5)\):

\[\frac{a}{a+5}-\frac{a^2}{a^2-25}=\frac{a(a-5)-a^2}{(a-5)(a+5)}=\frac{-5a}{(a-5)(a+5)}.\]

Этот делитель не равен нулю при \(a\ne 0\). Поэтому дополнительно исключаем \(a=0\).

Выполним деление на дробь:

\[\frac{5a^2}{(a+5)^2}:\frac{-5a}{(a-5)(a+5)}=\frac{5a^2}{(a+5)^2}\cdot\frac{(a-5)(a+5)}{-5a}=-\frac{a(a-5)}{a+5}.\]

Так как \(-a(a-5)=5a-a^2\), получаем правую часть тождества. Следовательно, тождество доказано при \(a\ne -5,\ 0,\ 5\).