Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых, пересекающихся под углом, отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Пусть две пересекающиеся прямые имеют общую точку O. На одной из них последовательно отложены равные отрезки: AB = BC = CD = …. Через точки A, B, C, D проведены параллельные прямые, пересекающие вторую прямую соответственно в точках A₁, B₁, C₁, D₁.

1. Рассмотрим треугольники OAA₁ и OBB₁. Они подобны, так как имеют общий угол при вершине O, а углы при точках A и B равны как соответственные углы при параллельных прямых.
2. Из подобия треугольников получаем пропорцию OA₁/OB₁ = OA/OB.
3. Так как AB = BC, то OB = OA + AB, а OC = OB + BC. Следовательно, OB − OA = OC − OB.
4. Из пропорциональности соответствующих отрезков следует, что равным отрезкам AB и BC на первой прямой соответствуют равные разности BB₁ и CC₁ на второй прямой. То есть A₁B_{1 = B1C1.}
5. Аналогично доказывается, что каждому следующему отрезку, равному AB, соответствует такой же отрезок на второй прямой.

Следовательно, параллельные прямые отсекают на второй пересекающейся прямой равные между собой отрезки.

Что и требовалось доказать.