Докажите теорему: Если через точку M, лежащую вне окружности, проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей.

Рассмотрим две секущие, проходящие через точку M и пересекающие окружность в точках A, B и C, D соответственно. Обозначим отрезки MA = a, MB = b, MC = c, MD = d. Согласно теореме о произведении секущих, выполняется равенство: MA * MB = MC * MD. Доказательство основано на подобных треугольниках, которые образуются между точками пересечения секущих и окружности. Рассмотрим треугольники MAB и MCD. Эти треугольники подобны, так как угол при вершине M общий, а углы при точках B и D равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Из подобия треугольников следует пропорция сторон, из которой и выводится равенство произведений отрезков секущих.