Докажите теорему: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство:

Дано: окружность с центром O, AB — диаметр, CD — хорда, AB ⊥ CD в точке M.

Доказать: CM = MD.

Доказательство:

1. Предположим, что диаметр AB перпендикулярен хорде CD.
2. Рассмотрим треугольники ΔOМC и ΔOМD.
3. Углы ∠OMC и ∠OMD — прямые, так как AB ⊥ CD. Следовательно, ∠OMC = ∠OMD = 90°.
4. Сторона OM — общая для обоих треугольников.
5. Стороны OC и OD являются радиусами окружности, следовательно, OC = OD.
6. По двум катетам и гипотенузе (или по двум сторонам и углу между ними), треугольники ΔOМC и ΔOМD равны (например, по гипотенузе и острому углу, так как ∠OCM = ∠ODM как углы при основании равнобедренного треугольника OCD).
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: CM = MD.
8. Таким образом, диаметр AB, перпендикулярный хорде CD, делит её пополам.

Теорема доказана.