Докажите координатно-векторным методом, что если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Какие теоретические факты используются в решении этой задачи?

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Тогда O — середина диагоналей, поэтому \(\vec{AO}=\vec{OC}\) и \(\vec{BO}=\vec{OD}\).

Разложим векторы сторон:

\(\vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}\), а \(\vec{DC}=\vec{DO}+\vec{OC}\).

Из равенств \(\vec{AO}=\vec{OC}\) и \(\vec{OB}=\vec{DO}\) следует, что \(\vec{AB}=\vec{DC}\). Значит, противоположные стороны параллельны и равны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Ответ: используются признак параллелограмма по пересекающимся диагоналям и определение равных векторов. Свойство измерения отрезков для доказательства координатно-векторным методом не требуется.