Докажите, что закон равенства работ («золотое правило» механики) применим к гидравлической машине. Трение между поршнями и стенками сосудов не учитывайте. Используйте для доказательства рисунок 144. Когда малый поршень под действием силы (F_1) опускается вниз на расстояние (h_1), он вытесняет некоторый объём жидкости. На столько же увеличивается объём жидкости под большим поршнем, который при этом поднимается на высоту (h_2).

Давайте докажем применимость закона равенства работ («золотого правила» механики) к гидравлической машине, пренебрегая трением между поршнями и стенками сосудов. 1. Обозначения: * (F_1) – сила, действующая на малый поршень. * (h_1) – расстояние, на которое опускается малый поршень. * (F_2) – сила, действующая на большой поршень. * (h_2) – расстояние, на которое поднимается большой поршень. * (A_1) – работа, совершаемая над малым поршнем. * (A_2) – работа, совершаемая большим поршнем. 2. Работа, совершаемая над малым поршнем: Работа (A_1), совершаемая силой (F_1) при опускании малого поршня на расстояние (h_1), равна: \[A_1 = F_1 cdot h_1\] 3. Работа, совершаемая большим поршнем: Работа (A_2), совершаемая большим поршнем при подъеме на высоту (h_2), равна: \[A_2 = F_2 cdot h_2\] 4. Закон равенства работ: Согласно закону равенства работ (или «золотому правилу» механики), полезная работа равна затраченной работе. В идеальной гидравлической машине без трения: \[A_1 = A_2\] Следовательно: \[F_1 cdot h_1 = F_2 cdot h_2\] 5. Объем вытесненной жидкости: Объем жидкости, вытесненный малым поршнем, равен объему жидкости, поднявшей большой поршень. Обозначим площади малого и большого поршней как (S_1) и (S_2) соответственно. Тогда: \[V_1 = S_1 cdot h_1\] \[V_2 = S_2 cdot h_2\] Так как объемы равны: \[S_1 cdot h_1 = S_2 cdot h_2\] 6. Сила и площадь: Давление в жидкости одинаково во всех точках (закон Паскаля). Поэтому: \[P_1 = P_2\] \[\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}\] Отсюда: \[F_1 = F_2 cdot \frac{S_1}{S_2}\] 7. Подстановка в уравнение работ: Подставим выражение для (F_1) в уравнение равенства работ: \[F_2 cdot \frac{S_1}{S_2} cdot h_1 = F_2 cdot h_2\] Сократим (F_2): \[\frac{S_1}{S_2} cdot h_1 = h_2\] Или: \[S_1 cdot h_1 = S_2 cdot h_2\] Это равенство объемов вытесненной жидкости. 8. Вывод: Таким образом, мы показали, что если выполняется равенство объемов вытесненной жидкости (что является следствием несжимаемости жидкости и закона Паскаля), то выполняется и равенство работ: \[F_1 cdot h_1 = F_2 cdot h_2\] Это доказывает, что закон равенства работ (или «золотое правило» механики) применим к гидравлической машине при отсутствии трения. Вывод: Закон равенства работ для гидравлической машины доказан.