5 Докажите, что все точки биссектрисы угла СН равноудалены от сторон угла. 6 С помощью метода ГМТ, определите, пересекутся ли серединные перпендикуляры треугольника в одной точке.

Задание 5

Доказательство:

• Пусть дана биссектриса угла \( \angle C \). Возьмем произвольную точку H на этой биссектрисе.
• Опустим перпендикуляры из точки H на стороны угла \( \angle C \): HE и HK.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle CHE \) и \( \triangle CHK \). У них:
• CH — общая гипотенуза.
• \( \angle HCE = \angle HCK \), так как CH — биссектриса.
• Следовательно, \( \triangle CHE = \triangle CHK \) по гипотенузе и острому углу.
• Из равенства треугольников следует, что HE = HK.

Таким образом, точка H равноудалена от сторон угла \( \angle C \).

Задание 6

Решение:

• Пусть дан треугольник ABC. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC.
• Обозначим точку пересечения этих перпендикуляров через O.
• Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB, она равноудалена от точек A и B: OA = OB.
• Аналогично, так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC, она равноудалена от точек B и C: OB = OC.
• Из равенств OA = OB и OB = OC следует, что OA = OC.
• Это означает, что точка O равноудалена от точек A и C, и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра треугольника ABC пересекаются в одной точке O.