Докажите, что в треугольнике ABC средняя линия KM и медиана BN точкой пересечения O делятся пополам (рис. 104).

Так как KM — средняя линия треугольника ABC, точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно, а KM параллельна AC.

Рассмотрим треугольник ABN. Точка K — середина AB. Поскольку BN — медиана треугольника ABC, N — середина AC; следовательно, AN = NC. При этом BN пересекает KM в точке O.

В треугольнике ABN прямая KO лежит на KM и параллельна AN, так как KM ∥ AC и AN является частью AC. По теореме о средней линии треугольника прямая, проходящая через середину одной стороны параллельно второй стороне, пересекает третью сторону в её середине. Значит, O — середина BN, то есть BO = ON.

Теперь рассмотрим треугольник BNC. Точка M — середина BC, а MO лежит на KM и параллельна NC. По той же теореме O — середина BN. Следовательно, KM и BN делятся точкой O пополам.

Ответ: BO = ON и KO = OM.