41. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от ее центра.

Для доказательства этого утверждения нам нужно обратиться к свойствам окружности и ее элементов. В частности, нам понадобятся знания о радиусах, хордах и расстоянии от центра окружности до хорды.

Пусть у нас есть окружность с центром в точке O. Предположим, что у нас есть две равные хорды AB и CD.

Доказательство:

1. Проведём перпендикуляры из центра O к хордам AB и CD. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с хордами как M и N соответственно. Таким образом, OM ⊥ AB и ON ⊥ CD.
2. Вспомним свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Следовательно, AM = MB и CN = ND.
3. Так как AB = CD (по условию), то AM = CN (половины равных хорд равны).
4. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMA и ONC. У них:
• AM = CN (доказано выше).
• OA = OC (как радиусы одной и той же окружности).
5. Следовательно, прямоугольные треугольники OMA и ONC равны по катету и гипотенузе.
6. Из равенства треугольников следует, что OM = ON.
7. OM и ON – это расстояния от центра окружности до хорд AB и CD соответственно. Так как OM = ON, то хорды AB и CD равноудалены от центра окружности.

Вывод: Равные хорды окружности действительно равноудалены от ее центра.