Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле \(r = \frac{a+b-c}{2}\), где \(r\) — радиус вписанной окружности, \(a\) и \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза.

Доказательство формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Пошаговое решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), гипотенузу как \(c\), а радиус вписанной окружности как \(r\). Центр вписанной окружности обозначим как точку \(O\), а точки касания окружности со сторонами треугольника — как \(E\), \(M\), и \(K\), как показано на рисунке.
2. Так как \(CEOM\) — квадрат (поскольку углы \(\angle C\), \(\angle CEO\), и \(\angle CMO\) прямые, и \(OE = OM = r\)), то \(CE = CM = r\).
3. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, \(AE = AK\) и \(BM = BK\).
4. Обозначим \(AE = AK = x\) и \(BM = BK = y\). Тогда \(a = r + x\) и \(b = r + y\).
5. Также известно, что \(c = x + y\). Выразим \(x\) и \(y\) через известные стороны: \(x = a - r\) и \(y = b - r\).
6. Подставим выражения для \(x\) и \(y\) в уравнение для гипотенузы: \(c = (a - r) + (b - r)\).
7. Решим полученное уравнение относительно \(r\): \(c = a + b - 2r\).
8. Выразим радиус \(r\) через стороны треугольника: \(2r = a + b - c\).

Ответ: \(r = \frac{a+b-c}{2}\), что и требовалось доказать.