1098. Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел кратно 8.

Пусть n — некоторое натуральное число. Тогда четыре последовательных натуральных числа можно представить в виде:

n, n+1, n+2, n+3

Рассмотрим произведение этих чисел:

P = n(n+1)(n+2)(n+3)

Среди четырех последовательных натуральных чисел обязательно найдется:

• Хотя бы два четных числа (кратных 2).
• Одно число, которое делится на 4.

Действительно:

• Если n четное, то n и n+2 четные.
• Если n нечетное, то n+1 и n+3 четные.

Среди двух четных чисел одно обязательно делится на 4, так как четные числа чередуются через одно (2, 4, 6, 8, ...). Таким образом, в произведении P есть множитель, который делится на 2, и множитель, который делится на 4.

Пусть одно из чисел делится на 2 (то есть имеет вид 2k), а другое делится на 4 (то есть имеет вид 4m), где k и m — целые числа.

Тогда произведение P содержит множитель 2k × 4m = 8km, что означает, что P делится на 8.

Следовательно, произведение четырёх последовательных натуральных чисел кратно 8.

Ответ: Произведение четырёх последовательных натуральных чисел кратно 8.