728. Докажите, что при любом значении переменной верно неравен- ство: a) 3(a + 1) + a < 4(2 + a); б) (7p-1)(7p+1) < 49p2; в) (а - 2)2 > а (a – 4); г) (2а + 2^+1) > 4a (a + 2).

Решение

a) 3(a + 1) + a < 4(2 + a)

3a + 3 + a < 8 + 4a

4a + 3 < 4a + 8

3 < 8 (верно)

Следовательно, неравенство верно при любом значении a.

б) (7p - 1)(7p + 1) < 49p^2

49p^2 - 1 < 49p^2

-1 < 0 (верно)

Следовательно, неравенство верно при любом значении p.

в) (a - 2)^2 > a(a - 4)

a^2 - 4a + 4 > a^2 - 4a

4 > 0 (верно)

Следовательно, неравенство верно при любом значении a.

г) (2a + 1)^2 + 1 > 4a(a + 2)

4a^2 + 4a + 1 + 1 > 4a^2 + 8a

4a^2 + 4a + 2 > 4a^2 + 8a

2 > 4a

a < 1/2

Следовательно, неравенство верно только при a < 1/2.