6. Докажите, что площадь трапеции вычисляется по 1 формуле S = · d₁ · d₂ · sin α, где d₁ и d₂ — её диагонали, а 2 α — угол между диагоналями.

Для доказательства формулы площади трапеции через диагонали и угол между ними, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Разделим трапецию на два треугольника, используя диагонали.
2. Площадь трапеции равна сумме площадей этих двух треугольников.
3. Площадь каждого треугольника может быть выражена как $$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$$, где $$a$$ и $$b$$ — стороны треугольника, а $$\gamma$$ — угол между ними.
4. Суммируя площади двух треугольников, получим формулу для площади трапеции.

Пусть трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Обозначим длины диагоналей как AC = d₁ и BD = d₂, угол между ними ∠BOC = α.

Площадь трапеции S = S(Δ BOC) + S(Δ AOD) + S(Δ AOB) + S(Δ COD).

Заметим, что S(Δ AOB) + S(Δ COD) = \frac{1}{2}AO \cdot BO \sin(\alpha) + \frac{1}{2}CO \cdot DO \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(\alpha) (AO \cdot BO + CO \cdot DO).

Площадь трапеции также может быть найдена как S = \frac{1}{2}d₁ d₂ sin α.

Таким образом, площадь трапеции вычисляется по формуле $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - длины диагоналей, а $$\alpha$$ - угол между ними.

Ответ: Формула доказана.