12. Докажите, что многочлен принимает неотрицательные значе ния при любых значениях входящих в него букв: a) x² + y² - 2xy + x - y + 1 Доказательство: 6) x⁴ + 2x³ + y⁴ - 4y³ + x² + 4y² Доказательство:

а) x² + y² - 2xy + x - y + 1

Шаг 1: Перегруппируем члены: \[x^2 - 2xy + y^2 + x - y + 1 = (x - y)^2 + (x - y) + 1\] Шаг 2: Выделим полный квадрат, добавив и вычтя \(\frac{1}{4}\): \[(x - y)^2 + (x - y) + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = (x - y + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\] Так как квадрат любого выражения неотрицателен, а \(\frac{3}{4} > 0\), то выражение всегда принимает неотрицательные значения.

Доказательство: Выражение представили в виде суммы квадрата и положительного числа, следовательно, оно всегда неотрицательно.

б) x⁴ + 2x³ + y⁴ - 4y³ + x² + 4y²

Шаг 1: Перегруппируем члены и выделим полные квадраты: \[x^4 + 2x^3 + x^2 + y^4 - 4y^3 + 4y^2 = (x^2 + x)^2 + (y^2 - 2y)^2\] Шаг 2: Заметим, что выражения в скобках можно дополнить до полных квадратов: \[(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})^2 + (y^2 - 2y + 1 - 1)^2 = (x^2 + x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + (y^2 - 2y + 1)^2 - 1 = (x + \frac{1}{2})^4 - \frac{1}{16} + (y - 1)^4 - 1\] Шаг 3: Преобразуем выражение: \[(x^2 + x)^2 + (y^2 - 2y)^2 = (x(x+1))^2 + (y(y-2))^2\] Так как квадраты всегда неотрицательны, то сумма квадратов также неотрицательна.

Доказательство: Выражение представили в виде суммы квадратов, следовательно, оно всегда неотрицательно.