Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то её центр является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.

Решение:

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то он является описанным. В этом случае все стороны четырёхугольника касаются окружности. Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон четырёхугольника. Известно, что геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, есть биссектриса угла между ними. Следовательно, центр вписанной окружности лежит на биссектрисе каждого угла четырёхугольника. Точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника и является центром вписанной окружности.

Доказано.