Докажите, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого четырёхугольника.

Решение:

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то он является вписанным. В этом случае все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Центр окружности равноудалён от всех вершин четырёхугольника. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне четырёхугольника. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника и является центром описанной окружности.

Доказано.