Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Пусть \( AL \) — биссектриса, проведённая из вершины \( A \) к стороне \( BC \), и одновременно высота, то есть \( AL \bot BC \).

Так как \( AL \) — биссектриса, то \( \angle BAL = \angle CAL \).

Так как \( AL \) — высота, то \( \angle ALB = \angle ALC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABL \) и \( \triangle ACL \):

• У них есть общая сторона \( AL \).
• У них равны углы \( \angle BAL = \angle CAL \) (по условию, \( AL \) — биссектриса).
• У них равны углы \( \angle ALB = \angle ALC = 90^{\circ} \) (по условию, \( AL \) — высота).

По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (или по равенству угла, прилежащего к стороне, и двух других углов), \( \triangle ABL = \triangle ACL \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AB = AC \).

Следовательно, треугольник \( ABC \) является равнобедренным по определению.

Вывод: Если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.