Докажите, что если АМ - медиана треугольника АВС, то 4AM2 = AB2 + AC² + 2AB. AC. COS А. Пользуясь этой форму- лой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Ответ: 4AM² = AB² + AC² + 2AB · AC · cos A

Решение:

• Точка M - середина отрезка BC, поэтому \[\vec{2AM} = \vec{AB} + \vec{AC}.\]
• Отсюда получаем: \[(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} = AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot cos A + AC^2,\] или \[4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot cos A.\]
• Второе утверждение задачи доказывается самостоятельно.

Ответ: 4AM² = AB² + AC² + 2AB · AC · cos A