269 Докажите, что ДАВС = ∆A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B₁ и ВН = В₁Н1, где ВН и В₁Н₁ - высоты ДАВС И ДА₁B₁C1.

Ответ: смотри решение в блоке ниже

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

   Из условия задачи известно, что:

   • \[ \angle A = \angle A_1 \]
   • \[ \angle B = \angle B_1 \]
   • \[ BH = B_1H_1 \]

2. Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), то:

   \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \]

   и

   \[ \angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) \]

   Следовательно, \( \angle C = \angle C_1 \), потому что \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \).

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle BBH \) и \( \triangle B_1A_1H_1 \). У них:

   • \[ BH = B_1H_1 \] (по условию)
   • \( \angle H = \angle H_1 = 90^\circ \) (так как \( BH \) и \( B_1H_1 \) - высоты)
   • \[ \angle A = \angle A_1 \] (по условию)

   Следовательно, \( \triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1 \) по гипотенузе и острому углу.

   Из равенства треугольников следует, что \( AB = A_1B_1 \).

4. Теперь у нас есть:

   • \[ \angle A = \angle A_1 \]
   • \[ \angle B = \angle B_1 \]
   • \[ AB = A_1B_1 \]

   Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: Что и требовалось доказать.