Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (-1;-1), B (-3; 1), C (1; 5) и D (3; 3) является прямоугольником.

Доказательство:

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что его стороны попарно параллельны и равны, а диагонали равны.

1. Найдём векторы сторон:

• \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - (-1); 1 - (-1)) = (-2; 2) \)
• \( \vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (1 - 3; 5 - 3) = (-2; 2) \)

Так как \( \vec{AB} = \vec{DC} \), то AB || DC и AB = DC. Это означает, что ABCD — параллелограмм.

• \( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (1 - (-3); 5 - 1) = (4; 4) \)
• \( \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (3 - (-1); 3 - (-1)) = (4; 4) \)

Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то BC || AD и BC = AD. Это подтверждает, что ABCD — параллелограмм.

2. Проверим перпендикулярность соседних сторон (скалярное произведение векторов):

• \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot 4 + 2 \cdot 4 = -8 + 8 = 0 \)

Так как скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) равно 0, то векторы перпендикулярны, а значит, \( \angle B = 90^{\circ} \).

Параллелограмм, у которого один угол прямой, является прямоугольником.

3. Проверим равенство диагоналей (для полной уверенности):

• \( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (1 - (-1); 5 - (-1)) = (2; 6) \)
• \( \vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (3 - (-3); 3 - 1) = (6; 2) \)

Длина диагонали AC:

\[ |\(\vec{AC}\)| = \(\sqrt{2^2 + 6^2}\) = \(\sqrt{4 + 36}\) = \(\sqrt{40}\) \)\( \) см.

Длина диагонали BD:

\[ |\(\vec{BD}\)| = \(\sqrt{6^2 + 2^2}\) = \(\sqrt{36 + 4}\) = \(\sqrt{40}\) \)\( \) см.

Диагонали равны, что также подтверждает, что четырёхугольник является прямоугольником.

Вывод: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как является параллелограммом с прямым углом.