Докажите, что ∠AFN = ∠MNF (рис. 61), если известно, что AN = FM и AN | FM.

Решение:

Дано: \( AN = FM \), \( AN \mid\mid FM \).

Доказать: \( \angle AFN = \angle MNF \).

Доказательство:

1. Так как \( AN \mid\mid FM \) и \( AN \) и \( FM \) являются отрезками, то можно предположить, что \( ANFM \) — параллелограмм, если \( AF \mid\mid NM \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle AFN \) и \( \triangle FNM \).
3. У нас есть \( AN = FM \) (дано).
4. Сторона \( FN \) является общей для обоих треугольников.
5. Если \( ANFM \) — параллелограмм, то \( AN \mid\mid FM \) и \( AF \mid\mid NM \).
6. В параллелограмме противолежащие углы равны, а диагонали делят его на два равных треугольника.
7. Если \( ANFM \) — параллелограмм, то \( \angle FMN = \angle FAN \) и \( \angle ANF = \angle NFM \).
8. В треугольнике \( \triangle AFN \) и \( \triangle FNM \): \( AN = FM \), \( FN = FN \).
9. Если мы можем доказать, что \( \angle ANF = \angle FMN \), то треугольники будут равны по первому признаку равенства (СУС), но у нас нет информации о равенстве углов.
10. Рассмотрим случай, когда \( ANFM \) является параллелограммом. Тогда \( AN \mid\mid FM \).
11. Диагональ \( FN \) делит параллелограмм на два равных треугольника: \( \triangle AFN \) и \( \triangle FNM \).
12. Если \( \triangle AFN = \triangle FNM \) по трём сторонам (ССС, т.к. \( AF=NM \) в параллелограмме), то их соответствующие углы равны.
13. Следовательно, \( \angle AFN = \angle FNM \).
14. Важно: условие \( AN = FM \) и \( AN \mid\mid FM \) гарантирует, что четырёхугольник \( ANFM \) является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому \( AF = NM \).
15. Итак, в \( \triangle AFN \) и \( \triangle FNM \): \( AN = FM \) (дано), \( FN = FN \) (общая сторона), \( AF = NM \) (свойство параллелограмма).
16. Следовательно, \( \triangle AFN = \triangle FNM \) по третьему признаку равенства треугольников (ССС).
17. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle AFN = \angle FNM \).

Что и требовалось доказать.