Докажите, что (1 + k)² AM² = k²b² + 2bck cos A + c², где b = AC, c = AB.

По условию задачи точка М лежит на отрезке BC, поэтому BM = kMC или BM = k(BC - BM). Отсюда следует, что BM = (k / (1 + k)) * BC. По правилу сложения векторов, AM = AB + BM. Подставляя выражение для BM, получаем AM = AB + (k / (1 + k)) * (AC - AB). Умножая обе части на (1 + k), имеем (1 + k)AM = AB + kAC. Возводя обе части в квадрат, получаем (1 + k)² AM² = (AB + kAC)². Раскрывая скобки и используя скалярное произведение, получаем (1 + k)² AM² = AB² + 2k(AB · AC) + k²AC². Заменяя AB² на c², AC² на b² и AB · AC на bc cos A, получаем (1 + k)² AM² = c² + 2kbc cos A + k²b². Доказано.