Доказать методом мат. индукции. a) n = (n-1)+(n+2) / 2 для ∀n∈N б) n³ + 9n² + 26n + 24 делится на 6 для ∀n∈N

a) n = (n-1)+(n+2) / 2 для ∀n∈N

Это неверное утверждение, так как \[ \frac{(n-1)+(n+2)}{2} = \frac{2n+1}{2} = n + \frac{1}{2} \].

Таким образом, \[ n = n + \frac{1}{2} \] не выполняется для всех n.

Даже проверять методом математической индукции нет смысла.

б) n³ + 9n² + 26n + 24 делится на 6 для ∀n∈N

Докажем это утверждение методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции. Проверим для n = 1:

\[ 1^3 + 9 \cdot 1^2 + 26 \cdot 1 + 24 = 1 + 9 + 26 + 24 = 60 \]

60 делится на 6, поэтому база индукции верна.

Шаг 2: Индукционный переход. Предположим, что для некоторого k ∈ N верно, что \[ k^3 + 9k^2 + 26k + 24 \] делится на 6.

Докажем, что тогда и \[ (k+1)^3 + 9(k+1)^2 + 26(k+1) + 24 \] делится на 6.

Раскроем скобки и упростим:

\[ (k+1)^3 + 9(k+1)^2 + 26(k+1) + 24 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 9(k^2 + 2k + 1) + 26k + 26 + 24 \]

\[ = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 9k^2 + 18k + 9 + 26k + 26 + 24 = k^3 + 12k^2 + 47k + 60 \]

Теперь представим это выражение в виде суммы:

\[ (k^3 + 9k^2 + 26k + 24) + (3k^2 + 21k + 36) \]

Первое слагаемое делится на 6 по предположению индукции. Нам нужно показать, что второе слагаемое, \[ 3k^2 + 21k + 36 \], также делится на 6.

Вынесем 3 за скобки: \[ 3(k^2 + 7k + 12) \]

Заметим, что \[ k^2 + 7k + 12 = (k+3)(k+4) \]. Так как либо k+3, либо k+4 - четное, то \[ (k+3)(k+4) \] делится на 2.

Следовательно, \[ 3(k+3)(k+4) \] делится на 3 * 2 = 6.

Таким образом, \[ (k+1)^3 + 9(k+1)^2 + 26(k+1) + 24 \] делится на 6.

Шаг 3: Заключение. На основании принципа математической индукции, \[ n^3 + 9n^2 + 26n + 24 \] делится на 6 для всех натуральных n.

Ответ: a) неверно для всех n; б) n³ + 9n² + 26n + 24 делится на 6 для всех натуральных n.