Для x(t)=t^3-9t^2+24t найдите моменты времени, когда точка меняет направление движения.

Решение:

Чтобы найти моменты времени, когда точка меняет направление движения, нужно найти скорость точки, взяв первую производную от положения по времени, а затем приравнять её к нулю. Скорость \( v(t) \) — это производная от \( x(t) \).

1. Найдем производную функции \( x(t) = t^3 - 9t^2 + 24t \):
   \( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 9t^2 + 24t) = 3t^2 - 18t + 24 \).
2. Приравняем скорость к нулю, чтобы найти моменты, когда скорость равна нулю (это точки возможной смены направления):
   \( 3t^2 - 18t + 24 = 0 \).
3. Разделим уравнение на 3 для упрощения:
   \( t^2 - 6t + 8 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: нам нужны два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4.
   \( (t - 2)(t - 4) = 0 \).
5. Следовательно, корни уравнения: \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = 4 \).
6. Теперь проверим знак производной (скорости) до, между и после этих значений, чтобы убедиться, что направление движения меняется.
   - При \( t < 2 \) (например, \( t = 1 \)): \( v(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 24 = 3 - 18 + 24 = 9 > 0 \) (движение в положительном направлении).
   - При \( 2 < t < 4 \) (например, \( t = 3 \)): \( v(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 3(9) - 54 + 24 = 27 - 54 + 24 = -3 < 0 \) (движение в отрицательном направлении).
   - При \( t > 4 \) (например, \( t = 5 \)): \( v(5) = 3(5)^2 - 18(5) + 24 = 3(25) - 90 + 24 = 75 - 90 + 24 = 9 > 0 \) (движение снова в положительном направлении).

Так как знак скорости меняется на \( t=2 \) и \( t=4 \), точка меняет направление движения в эти моменты времени.

Ответ: t=2 и t=4.