Для покупки восьми воздушных шариков у Тани не хватает 200 руб. Если она купит пять шариков, то у нее останется 1000 руб. Сколько денег было у Тани? Сколько стоит один шарик?

Решение:

Пусть \( x \) — стоимость одного шарика, а \( y \) — количество денег у Тани.

Условие 1: Для покупки 8 шариков не хватает 200 руб. Это значит, что денег у Тани на 200 руб. меньше, чем стоимость 8 шариков.

\( y = 8x - 200 \) (1)

Условие 2: Если она купит 5 шариков, то останется 1000 руб. Это значит, что денег у Тани на 1000 руб. больше, чем стоимость 5 шариков.

\( y = 5x + 1000 \) (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как \( y \) в обоих случаях одно и то же:

\[ 8x - 200 = 5x + 1000 \]

Решим это уравнение:

1. Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 8x - 5x = 1000 + 200 \]

\[ 3x = 1200 \]

1. Найдем \( x \):

\[ x = \frac{1200}{3} = 400 \]

Итак, один шарик стоит 400 руб.

Теперь найдем, сколько денег было у Тани, подставив значение \( x \) в любое из уравнений. Возьмем уравнение (2):

\[ y = 5x + 1000 = 5 \cdot 400 + 1000 = 2000 + 1000 = 3000 \]

Проверим с уравнением (1):

\[ y = 8x - 200 = 8 \cdot 400 - 200 = 3200 - 200 = 3000 \]

Результаты совпадают.

Ответ: У Тани было 3000 руб. Один шарик стоит 400 руб.