Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: (T(t) = T_0 + bt + at^2), где t – время в минутах, (T_0 = 1350) K, (a = -7.5) K/мин(^2), (b = 105) K/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1650 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Чтобы определить, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор, нужно решить неравенство: (T(t) \le 1650) Подставим известные значения: (1350 + 105t - 7.5t^2 \le 1650) Перенесем все в одну сторону: (-7.5t^2 + 105t + 1350 - 1650 \le 0) (-7.5t^2 + 105t - 300 \le 0) Умножим обе части на -1 (знак неравенства изменится): (7.5t^2 - 105t + 300 \ge 0) Разделим обе части на 7.5: (t^2 - 14t + 40 \ge 0) Решим квадратное уравнение: (t^2 - 14t + 40 = 0) Найдем дискриминант: (D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 cdot 1 cdot 40 = 196 - 160 = 36) Найдем корни: (t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{36}}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10) (t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{36}}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4) Теперь определим интервалы, где неравенство (t^2 - 14t + 40 \ge 0) выполняется. Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при (t^2) положительный), неравенство выполняется вне интервала между корнями. Значит, (t \le 4) или (t \ge 10). Так как нас интересует наибольшее время после начала работы, в течение которого прибор можно не отключать, а также то, что температура нагревателя не должна превышать 1650 K, то выбираем меньший корень, т.е. t = 4 минуты. Таким образом, прибор нужно отключить через 4 минуты после начала работы.