Диаметр окружности равен 16 см. Около неё описана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 20 см. Вычисли основания и площадь трапеции.

Решение:

Дано: Диаметр окружности \( D = 16 \) см. Равнобедренная трапеция, описанная около окружности. Боковая сторона \( c = 20 \) см.

Найти: Основания \( a \) и \( b \), площадь \( S \) трапеции.

1. Радиус окружности \( r = \frac{D}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
2. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, т.е. \( h = D = 16 \) см.
3. В равнобедренной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( a + b = 2c \).
4. Так как \( c = 20 \) см, то \( a + b = 2 \cdot 20 = 40 \) см.
5. Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \).
6. Подставим известные значения: \( S = \frac{40}{2} \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320 \) см².
7. Для нахождения оснований, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной разности оснований и боковой стороной. Пусть \( a \) - большее основание, \( b \) - меньшее. Тогда \( \frac{a - b}{2} \) — катет.
8. По теореме Пифагора: \( \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 + h^2 = c^2 \).
9. \( \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 + 16^2 = 20^2 \)
10. \( \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 + 256 = 400 \)
11. \( \left( \frac{a - b}{2} \right)^2 = 400 - 256 = 144 \)
12. \( \frac{a - b}{2} = \sqrt{144} = 12 \) см.
13. \( a - b = 2 \cdot 12 = 24 \) см.
14. Теперь имеем систему уравнений:
• \( a + b = 40 \)
• \( a - b = 24 \)
15. Сложим уравнения: \( (a + b) + (a - b) = 40 + 24 \)
16. \( 2a = 64 \)
17. \( a = \frac{64}{2} = 32 \) см.
18. Подставим \( a = 32 \) в первое уравнение: \( 32 + b = 40 \)
19. \( b = 40 - 32 = 8 \) см.

Ответ: Меньшее основание равно 8 см, большее основание равно 32 см, площадь трапеции равна 320 см².