Диаметр окружности равен 15 см. Около неё описана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 25 см. Вычисли основания и площадь трапеции.

Решение:

Так как около трапеции описана окружность, то сумма противоположных сторон трапеции равна. Для равнобедренной трапеции это означает, что сумма оснований равна удвоенной боковой стороне.

Дано:

• Диаметр окружности \( d = 15 \) см.
• Боковая сторона трапеции \( c = 25 \) см.

Найти:

• Меньшее основание \( a \)
• Большее основание \( b \)
• Площадь трапеции \( S \)

Решение:

1. Радиус окружности: \( r = \frac{d}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.
2. Высота трапеции равна диаметру окружности: \( h = 15 \) см.
3. Так как трапеция равнобедренная и описана окружность, то сумма оснований равна удвоенной боковой стороне: \( a + b = 2c \).
4. Подставим значение боковой стороны: \( a + b = 2 \cdot 25 = 50 \) см.
5. Основания трапеции можно найти, если знать, что высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, отсекает отрезок, равный полуразности оснований, а из вершины острого угла — полусумме оснований. Однако, в данной задаче, более удобным является использование свойства описанной окружности.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания, равным \( \frac{b-a}{2} \). В нашем случае, удобнее рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания. Пусть \( x = \frac{b-a}{2} \). Тогда \( x^2 + h^2 = c^2 \).
7. Подставим известные значения: \( x^2 + 15^2 = 25^2 \)
8. \( x^2 + 225 = 625 \)
9. \( x^2 = 625 - 225 = 400 \)
10. \( x = \sqrt{400} = 20 \) см.
11. Теперь мы знаем, что \( \frac{b-a}{2} = 20 \), откуда \( b - a = 40 \).
12. У нас есть система уравнений:
    • \( a + b = 50 \)
    • \( b - a = 40 \)
13. Сложим уравнения: \( (a+b) + (b-a) = 50 + 40 \)
14. \( 2b = 90 \)
15. \( b = 45 \) см.
16. Подставим значение \( b \) в первое уравнение: \( a + 45 = 50 \)
17. \( a = 5 \) см.
18. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} × h \).
19. Подставим значения: \( S = \frac{5+45}{2} × 15 = \frac{50}{2} × 15 = 25 × 15 = 375 \) см².

Ответ: Меньшее основание трапеции равно 5 см, большее основание равно 45 см, площадь трапеции равна 375 см².