Диаметр окружности равен 15 см. Около неё описана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 17 см. Вычисли основания и площадь трапеции.

Краткая запись:

• Диаметр окружности (D): 15 см
• Боковая сторона трапеции (c): 17 см
• Найти: Меньшее основание (a) — ?, Большее основание (b) — ?, Площадь (S) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем высоту трапеции (h). Высота трапеции равна диаметру описанной окружности.
   \( h = D = 15 \) см.
2. Шаг 2: Находим половину разности оснований. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона (17 см), один катет — высота (15 см), а второй катет — половина разности оснований ( \( \frac{b-a}{2} \) ). Используем теорему Пифагора:
   \( (\frac{b-a}{2})^2 + h^2 = c^2 \)
   \( (\frac{b-a}{2})^2 + 15^2 = 17^2 \)
   \( (\frac{b-a}{2})^2 + 225 = 289 \)
   \( (\frac{b-a}{2})^2 = 289 - 225 \)
   \( (\frac{b-a}{2})^2 = 64 \)
   \( \frac{b-a}{2} = \sqrt{64} = 8 \) см.
3. Шаг 3: Вычисляем большее основание (b). Так как трапеция вписана в окружность, сумма противоположных сторон равна. Поэтому \( a + b = 2c \).
   \( a + b = 2 \cdot 17 = 34 \) см.
   Теперь у нас есть система уравнений:
   \( \frac{b-a}{2} = 8 ightarrow b - a = 16 \)
   \( a + b = 34 \)
   Сложим уравнения: \( (b - a) + (a + b) = 16 + 34 \)
   \( 2b = 50 \)
   \( b = 25 \) см.
4. Шаг 4: Вычисляем меньшее основание (a).
   \( a = 34 - b = 34 - 25 = 9 \) см.
5. Шаг 5: Вычисляем площадь трапеции (S). Используем формулу: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)
   \( S = \frac{9+25}{2} \cdot 15 \)
   \( S = \frac{34}{2} \cdot 15 \)
   \( S = 17 \cdot 15 = 255 \) см².

Ответ: Меньшее основание равно 9 см, большее основание равно 25 см, площадь трапеции равна 255 см²