Диагональ трапеции делите её среднюю линию на два отрезка так, что один из них в 2 раза больше другого. Найдите меньшее основание трапеции, если средняя линия равна 18.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть меньшее основание трапеции равно \( a \), а большее основание равно \( b \). Средняя линия \( m = \frac{a+b}{2} \).

Из условия задачи известно, что средняя линия равна 18, то есть \( m = 18 \).

Диагональ делит среднюю линию на два отрезка. Пусть эти отрезки равны \( x \) и \( 2x \). Сумма этих отрезков равна средней линии: \( x + 2x = 18 \).

Решаем уравнение: \( 3x = 18 \) \( x = \frac{18}{3} \) \( x = 6 \).

Значит, отрезки средней линии равны 6 и 12.

Отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны полуразности оснований.

Так как \( 12 \) больше \( 6 \), то \( \frac{b-a}{2} = 12 \).

Мы имеем систему уравнений:

1. \( \frac{a+b}{2} = 18 \)
2. \( \frac{b-a}{2} = 12 \)

Умножим оба уравнения на 2:

1. \( a+b = 36 \)
2. \( b-a = 24 \)

Сложим два уравнения:

\( (a+b) + (b-a) = 36 + 24 \)

\( 2b = 60 \)

\( b = \frac{60}{2} \)

\( b = 30 \)

Подставим значение \( b \) в первое уравнение:

\( a + 30 = 36 \)

\( a = 36 - 30 \)

\( a = 6 \)

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 6.

Ответ: 6