Диагональ АС ромба ABCD равна 32, a tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 12

1. Обозначим половину диагонали ромба как AO = OC = 16.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. Тангенс угла BCA равен отношению противолежащего катета BO к прилежащему катету OC:

   \[tg \angle BCA = \frac{BO}{OC}\]

3. Выразим BO:

   \[BO = OC \cdot tg \angle BCA = 16 \cdot 0.75 = 12\]

4. Найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора:

   \[BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\]

5. Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей:

   \[S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 24 = 384\]

6. Площадь ромба также можно найти как произведение стороны на высоту (где высота равна двум радиусам вписанной окружности):

   \[S_{ромба} = BC \cdot h = BC \cdot 2r\]

7. Выразим радиус r:

   \[r = \frac{S_{ромба}}{2 \cdot BC} = \frac{384}{2 \cdot 20} = \frac{384}{40} = 9.6\]

Ответ: 12