Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg∠BCA=0,75. Найдите радиус окружности вписанной в ромб.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Пусть точка пересечения диагоналей O. В треугольнике BOC, ∠BOC = 90°.

tg∠BCA = OB / OC. Так как AC = 16, то OC = 8. Следовательно, OB = OC * tg∠BCA = 8 * 0.75 = 6.

Диагональ BD = 2 * OB = 2 * 6 = 12.

Площадь ромба = (AC * BD) / 2 = (16 * 12) / 2 = 96.

Сторона ромба AB = √(OC² + OB²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

Радиус вписанной окружности = Площадь ромба / Полупериметр ромба = 96 / (4 * 10 / 2) = 96 / 20 = 4.8.