Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а tg BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть сторона ромба равна \(a\), а угол \(BCA=\alpha\). Диагональ \(AC\) делит угол \(BCD\) пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике \(ABC\):

\[\tan\alpha=\frac{AB}{AC/2}=\frac{a}{18}=\frac{4}{3}.\]

Отсюда \(a=24\). Вписанная в ромб окружность имеет радиус \(r=\frac{S}{p}\), где \(p\) — полупериметр. Площадь ромба равна произведению диагонали на высоту к ней. Высота из вершины \(B\) к диагонали \(AC\) равна \(\sqrt{24^2-18^2}=\sqrt{252}=6\sqrt7\), поэтому \(S=36\cdot6\sqrt7=216\sqrt7\). Полупериметр \(p=2a=48\).

\[r=\frac{216\sqrt7}{48}=\frac{9\sqrt7}{2}.\]

Ответ: \(\frac{9\sqrt7}{2}\).