Determine the value of the expression. If the expression is not an integer, round to two decimal places.

Решение:

Задание состоит из двух примеров:

1. Пример (в):
   \( \frac{75^3 + 46^3}{121} - 75 \cdot 46 \)


2. Пример (г):
   \( \frac{65^2 + 47^2 - 35^2 - 17^2}{47^2 + 2 \cdot 47 \cdot 35 + 35^2} \)

Решение для (в):

Воспользуемся формулой суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).

В данном случае \( a = 75 \) и \( b = 46 \).

\( 75^3 + 46^3 = (75+46)(75^2 - 75 \cdot 46 + 46^2) = 121 \cdot (75^2 - 75 \cdot 46 + 46^2) \).

Подставляем в дробь:

\( \frac{121 \cdot (75^2 - 75 \cdot 46 + 46^2)}{121} - 75 \cdot 46 = (75^2 - 75 \cdot 46 + 46^2) - 75 \cdot 46 \)

\( = 75^2 - 2 \cdot 75 \cdot 46 + 46^2 \)

Это формула квадрата разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

\( = (75 - 46)^2 = 29^2 \)

\( 29^2 = 841 \)

Решение для (г):

Рассмотрим числитель: \( 65^2 + 47^2 - 35^2 - 17^2 \).

Сгруппируем: \( (65^2 - 35^2) + (47^2 - 17^2) \).

Воспользуемся формулой разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

\( 65^2 - 35^2 = (65-35)(65+35) = 30 \cdot 100 = 3000 \).

\( 47^2 - 17^2 = (47-17)(47+17) = 30 \cdot 64 = 1920 \).

Числитель равен: \( 3000 + 1920 = 4920 \).

Рассмотрим знаменатель: \( 47^2 + 2 \cdot 47 \cdot 35 + 35^2 \).

Это формула квадрата суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

\( (47 + 35)^2 = 82^2 = 6724 \).

Теперь вычислим дробь:

\( \frac{4920}{6724} \).

Сократим дробь. Оба числа делятся на 4:

\( 4920 : 4 = 1230 \)

\( 6724 : 4 = 1681 \)

\( \frac{1230}{1681} \).

1681 - это \( 41^2 \).

Проверим, делится ли 1230 на 41. \( 1230 / 41 = 30 \).

Значит, дробь равна \( \frac{30 \cdot 41}{41 \cdot 41} = \frac{30}{41} \).

Переведём в десятичную дробь:

\( 30 : 41 \approx 0.7317 \).

Округляем до двух знаков после запятой: \( 0.73 \).

В тетради было записано \( = 442.1 \) для примера (г). Возможно, ошибка в условии или вычислениях. Будем считать, что в примере (г) написано \( = 4421 \) и это результат другого примера.

Для примера (г) с числителем \( a^2+b^2 \) и знаменателем \( (a+b)^2 \) или \( (a-b)^2 \) , где \( a=65, b=35 \) или \( a=47, b=17 \) , получим результат:

\( \frac{65^2 - 35^2 + 47^2 - 17^2}{(47+35)^2} = \frac{3000+1920}{82^2} = \frac{4920}{6724} = \frac{30}{41} \approx 0.73 \)

В задании присутствует запись \( = 442.1 \) и \( = 4421 \). Возможно, это ответы к другим примерам.

По условию, если число не целое, округлить до двух знаков после запятой.

Ответ: для примера (в) — 841; для примера (г) — 0.73.