Determine the missing angle in the circle.

Решение:

На рисунке изображена окружность, разделённая на сектора. Даны вписанные углы \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\). Также даны дуги \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол \(70^{\circ}\) опирается на дугу, которая является суммой дуг \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) и ещё какой-то неизвестной дуги. Это не совсем корректное условие, если углы \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) являются центральными углами, а \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — вписанными.

Предположим, что \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — это величины дуг.

Угол \(70^{\circ}\) — вписанный. Он опирается на дугу. Величина этой дуги равна \(70^{\circ} \times 2 = 140^{\circ}\).

Сумма всех дуг в окружности равна \(360^{\circ}\). У нас есть дуги \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\). Их сумма равна \(45^{\circ} + 135^{\circ} = 180^{\circ}\).

Если угол \(70^{\circ}\) опирается на дугу, которая не равна \(45^{\circ}\) или \(135^{\circ}\), то задача некорректно поставлена.

Давайте предположим, что \(70^{\circ}\) — это центральный угол, опирающийся на некоторую дугу.

Если \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — это дуги, а \(70^{\circ}\) — это вписанный угол, то он опирается на сумму дуг. Однако, 70 не равно (45+135)/2.

Переосмыслим рисунок: \(70^{\circ}\) — это величина дуги. Тогда вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен \(70^{\circ} / 2 = 35^{\circ}\). На рисунке такой угол не обозначен.

Если \(70^{\circ}\) — это вписанный угол, то дуга, на которую он опирается, равна \(70^{\circ} \times 2 = 140^{\circ}\). На рисунке обозначены дуги \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\).

Наиболее вероятное предположение: \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — это вписанные углы, а \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — величины дуг.

Угол \(?^{\circ}\) опирается на дугу \(135^{\circ}\). Значит, \( ?^{\circ} = 135^{\circ} / 2 = 67.5^{\circ} \).

Угол \(70^{\circ}\) опирается на дугу \(45^{\circ}\) + другая дуга. Если \(70^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга равна \(140^{\circ}\). Эта дуга может быть составлена из \(45^{\circ}\) и \(95^{\circ}\).

Рассмотрим другой вариант: \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — это центральные углы. Тогда дуги равны \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\). У нас есть дуги \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\). Тогда \(70^{\circ} + ?^{\circ} + 45^{\circ} + 135^{\circ} = 360^{\circ}\). \(70^{\circ} + ?^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ}\). \(250^{\circ} + ?^{\circ} = 360^{\circ}\). \( ?^{\circ} = 360^{\circ} - 250^{\circ} = 110^{\circ}\).

Если \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — вписанные углы, и дуги \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — это тоже дуги. Сумма дуг \(45^{\circ} + 135^{\circ} + \text{дуга}_1 + \text{дуга}_2 = 360^{\circ}\). \(180^{\circ} + \text{дуга}_1 + \text{дуга}_2 = 360^{\circ}\). \(\text{дуга}_1 + \text{дуга}_2 = 180^{\circ}\).

Если \(70^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга, на которую он опирается, равна \(140^{\circ}\). Если \(?^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга, на которую он опирается, равна \(2 \times ?^{\circ}\).

Из рисунка видно, что углы \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) являются вписанными. Угол \(70^{\circ}\) опирается на дугу, состоящую из \(45^{\circ}\) и некоторой части. Угол \(?^{\circ}\) опирается на дугу \(135^{\circ}\).

Если \(?^{\circ}\) — вписанный угол, опирающийся на дугу \(135^{\circ}\), то \( ?^{\circ} = 135^{\circ} / 2 = 67.5^{\circ}\).

Если \(70^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга, на которую он опирается, равна \(70^{\circ} \times 2 = 140^{\circ}\). На рисунке показано, что эта дуга состоит из \(45^{\circ}\) и некоторой неизвестной дуги. То есть \(140^{\circ} = 45^{\circ} + \text{неизвестная дуга}\). \(\text{неизвестная дуга} = 140^{\circ} - 45^{\circ} = 95^{\circ}\).

Теперь проверим, что сумма всех дуг равна \(360^{\circ}\): \(45^{\circ} + 135^{\circ} + 95^{\circ} + (\text{дуга, на которую опирается } ?^{\circ}) = 360^{\circ}\).

Этот подход также не работает, так как \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) находятся в разных частях окружности.

Наиболее вероятное предположение, основанное на расположении углов и дуг: Угол \(70^{\circ}\) — вписанный, опирается на дугу. Дуга \(45^{\circ}\) — центральный угол. Угол \(?^{\circ}\) — вписанный, опирается на дугу. Дуга \(135^{\circ}\) — центральный угол.

Если \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — дуги, то угол \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — вписанные.

Если \(70^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга, на которую он опирается, равна \(140^{\circ}\). Если \(?^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга, на которую он опирается, равна \(2 \times ?^{\circ}\).

Предположим, что \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — это дуги. И \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — это вписанные углы, опирающиеся на другие дуги.

Если \(70^{\circ}\) — это величина дуги, а \(?^{\circ}\) — вписанный угол, то \(?^{\circ}\) опирается на дугу \(45^{\circ}\) + \(135^{\circ}\) + \(70^{\circ}\) = \(250^{\circ}\). Тогда \(?^{\circ}\) = \(250^{\circ} / 2 = 125^{\circ}\). Но на рисунке \(?^{\circ}\) явно меньше \(90^{\circ}\).

Самый логичный вариант: \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — это вписанные углы. \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — это дуги.

Угол \(?^{\circ}\) опирается на дугу \(135^{\circ}\). Тогда \( ?^{\circ} = 135^{\circ} / 2 = 67.5^{\circ}\). Однако, на рисунке \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) находятся в разных частях окружности, и нет явной связи между \(70^{\circ}\) и \(45^{\circ}\).

Исходя из расположения, угол \(70^{\circ}\) — вписанный, опирается на дугу, которая в сумме с \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) составляет \(360^{\circ}\) минус дуга, на которую опирается \(?^{\circ}\).

Возможно, \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — это величины дуг. Тогда \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — это вписанные углы. \(45^{\circ} = \text{дуга}_1 / 2\) -> \(\text{дуга}_1 = 90^{\circ}\). \(135^{\circ} = \text{дуга}_2 / 2\) -> \(\text{дуга}_2 = 270^{\circ}\). Но на рисунке \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) обозначены как дуги.

Наиболее вероятный сценарий: \(70^{\circ}\) и \(?^{\circ}\) — это вписанные углы. Дуги \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\) — это величины дуг. Угол \(?^{\circ}\) опирается на дугу \(135^{\circ}\). Тогда \( ?^{\circ} = 135^{\circ} / 2 = 67.5^{\circ}\). Угол \(70^{\circ}\) опирается на другую дугу. Если предположить, что \(70^{\circ}\) — это вписанный угол, то дуга, на которую он опирается, равна \(140^{\circ}\). Сумма дуг \(45^{\circ} + 135^{\circ} + 140^{\circ} + (\text{дуга под ?}) = 360^{\circ}\). \(320^{\circ} + (\text{дуга под ?}) = 360^{\circ}\). \(\text{дуга под ?}) = 40^{\circ}\). Тогда \(?^{\circ}\) = \(40^{\circ} / 2 = 20^{\circ}\). Это больше соответствует виду рисунка.

Или \(70^{\circ}\) — это вписанный угол, а \(45^{\circ}\) — дуга. \(?^{\circ}\) — вписанный угол, а \(135^{\circ}\) — дуга.

Если \(70^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга равна \(140^{\circ}\). Если \(?^{\circ}\) — вписанный угол, то дуга равна \(2 \times ?^{\circ}\). Сумма дуг \(45^{\circ}\) + \(135^{\circ}\) + \(140^{\circ}\) + \(2 \times ?^{\circ}\) = \(360^{\circ}\). \(320^{\circ} + 2 \times ?^{\circ} = 360^{\circ}\). \(2 \times ?^{\circ} = 40^{\circ}\). \(?^{\circ}\) = \(20^{\circ}\).