Determine the measure of angle XPE.

Решение:

На рисунке изображен круг с центром A. Угол \( \angle XAE \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( \overset{\frown}{XE} \). По условию, \( \angle XAE = 142^{\circ} \).

Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина дуги \( \overset{\frown}{XE} = 142^{\circ} \).

Угол \( \angle XPE \) является вписанным углом, который опирается на ту же дугу \( \overset{\frown}{XE} \).

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Таким образом, \( \angle XPE = \frac{1}{2} \angle XAE \).

Подставим известные значения:

\( \angle XPE = \frac{1}{2} \cdot 142^{\circ} = 71^{\circ} \).

Ответ: \( 71^{\circ} \).