Даны векторы \(\vec{a} = (2;-2;1)\) и \(\vec{b} = 3\vec{i}-\vec{k}\). Найдите \((\vec{a}+3\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})\)?

Решение:

Сначала представим вектор \(\vec{b}\) в координатной форме: \(\vec{b} = (3; 0; -1)\).

1. Вычислим \(\vec{a} + 3\vec{b}\):
   \(\vec{a} + 3\vec{b} = (2; -2; 1) + 3(3; 0; -1) = (2; -2; 1) + (9; 0; -3) = (2+9; -2+0; 1-3) = (11; -2; -2)\).
2. Вычислим \(\vec{a} - \vec{b}\):
   \(\vec{a} - \vec{b} = (2; -2; 1) - (3; 0; -1) = (2-3; -2-0; 1-(-1)) = (-1; -2; 2)\).
3. Найдем скалярное произведение векторов \((\vec{a}+3\vec{b})\) и \((\vec{a}-\vec{b})\):
   \[ (\vec{a}+3\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = (11; -2; -2) \cdot (-1; -2; 2) \]
   \[ = 11 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot 2 \]
   \[ = -11 + 4 - 4 \]
   \[ = -11 \]

Ответ: -11