Даны векторы \( \vec{a}=(-1; 3) \), \( \vec{b}=(4; 1) \) и \( \vec{c}=(2; c_0) \). Найдите \( c_0 \), если \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \).

Решение:

1. Найдем сумму векторов \( \vec{a} + \vec{b} \):
   \( \vec{a} + \vec{b} = (-1+4; 3+1) = (3; 4) \).
2. Найдем скалярное произведение \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} \):
   \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (3; 4) \cdot (2; c_0) = 3 \cdot 2 + 4 \cdot c_0 = 6 + 4c_0 \).
3. По условию задачи, скалярное произведение равно 0:
   \[ 6 + 4c_0 = 0 \]
4. Решим полученное уравнение относительно \( c_0 \):
   \[ 4c_0 = -6 \]
   \[ c_0 = \frac{-6}{4} \]
   \[ c_0 = -1.5 \]

Ответ: -1.5