Даны координаты вершин треугольника A(-1,6,-8), B(7,-5,0), C(-4,2,3). Найти: 1) Координаты вектора 2) Длину вектора AB; 3) Координаты точки М - середины стороны AB; 4) Периметр ΔABC; 5) Длину медианы CM.

Шаг 1: Найдем координаты вектора CA

Координаты вектора \[\overrightarrow{CA}\] находятся как разность координат точек A и C:

\[\overrightarrow{CA} = A - C = (-1 - (-4), 6 - 2, -8 - 3) = (3, 4, -11)\]

Шаг 2: Найдем длину вектора AB

Координаты вектора \[\overrightarrow{AB}\] находятся как разность координат точек B и A:

\[\overrightarrow{AB} = B - A = (7 - (-1), -5 - 6, 0 - (-8)) = (8, -11, 8)\]

Длина вектора \[\overrightarrow{AB}\] равна:

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{8^2 + (-11)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 121 + 64} = \sqrt{249}\]

Шаг 3: Найдем координаты точки M - середины стороны AB

Координаты середины отрезка находятся как полусумма координат концов:

\[M = (\frac{-1 + 7}{2}, \frac{6 + (-5)}{2}, \frac{-8 + 0}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-8}{2}) = (3, 0.5, -4)\]

Шаг 4: Найдем периметр ΔABC

Для этого нужно найти длины всех сторон треугольника:

• Длина стороны AB: \[|AB| = \sqrt{249} \approx 15.78\] (найдено в шаге 2)
• Длина стороны BC:\[\overrightarrow{BC} = C - B = (-4 - 7, 2 - (-5), 3 - 0) = (-11, 7, 3)\]\[|BC| = \sqrt{(-11)^2 + 7^2 + 3^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179} \approx 13.38\]
• Длина стороны AC:\[\overrightarrow{AC} = C - A = (-4 - (-1), 2 - 6, 3 - (-8)) = (-3, -4, 11)\]\[|AC| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 11^2} = \sqrt{9 + 16 + 121} = \sqrt{146} \approx 12.08\]

Периметр треугольника ABC:

\[P = |AB| + |BC| + |AC| = \sqrt{249} + \sqrt{179} + \sqrt{146} \approx 15.78 + 13.38 + 12.08 = 41.24\]

Шаг 5: Найдем длину медианы CM

Медиана CM соединяет вершину C и середину стороны AB (точку M). Координаты точки M найдены в шаге 3: M(3, 0.5, -4).

\[\overrightarrow{CM} = M - C = (3 - (-4), 0.5 - 2, -4 - 3) = (7, -1.5, -7)\]

Длина медианы CM:

\[|CM| = \sqrt{7^2 + (-1.5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 2.25 + 49} = \sqrt{100.25} \approx 10.01\]