Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (-1; -3), C (5; 1) и D (5; -3). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины В. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

1. Чертеж прямоугольника:

2. Координаты вершины В:

Так как ABCD — прямоугольник, то AB || CD и BC || AD.

Вектор AD = (5 - (-1); -3 - (-3)) = (6; 0).

Вектор CD = (5 - 5; -3 - 1) = (0; -4).

Чтобы найти B, нужно к координатам A прибавить вектор CD, или к координатам C прибавить вектор DA (вектор AD, но с противоположным направлением).

B = A + CD = (-1 + 0; -3 + (-4)) = (-1; -7).

Проверка: B = C + DA = (5 + (-6); 1 + 0) = (-1; 1). Это неверно. Значит, наш вектор CD ошибочен.

Правильно: C = (5; 1), D = (5; -3).

Вектор DC = (5 - 5; 1 - (-3)) = (0; 4).

B = A + DC = (-1 + 0; -3 + 4) = (-1; 1).

Проверка: C = B + AD = (-1 + 6; 1 + 0) = (5; 1). Верно.

3. Координаты точки пересечения диагоналей:

Точка пересечения диагоналей является серединой каждой диагонали.

Середина AC: \( M = \left( \frac{-1 + 5}{2}; \frac{-3 + 1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{-2}{2} \right) = (2; -1) \).

Середина BD: \( M = \left( \frac{-1 + 5}{2}; \frac{1 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{-2}{2} \right) = (2; -1) \).

Координаты точки пересечения диагоналей: (2; -1).

4. Площадь и периметр прямоугольника:

Длина стороны AD = \( \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \) см.

Длина стороны CD = \( \sqrt{(5 - 5)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 \) см.

Площадь прямоугольника S = AD * CD = 6 * 4 = 24 см².

Периметр прямоугольника P = 2 * (AD + CD) = 2 * (6 + 4) = 2 * 10 = 20 см.

Ответ: 2) B (-1; 1); 3) (2; -1); 4) Площадь 24 см², периметр 20 см.