Даны две случайные величины и их распределения: $X\sim\begin{pmatrix}-1&1&2\\0{,}6&0{,}3&0{,}1\end{pmatrix}$, $Y\sim\begin{pmatrix}-2&0&1\\0{,}1&0{,}7&0{,}2\end{pmatrix}$. Найдите дисперсию случайной величины $Y-2X$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Даны две случайные величины и их распределения: $X\sim\begin{pmatrix}-1&1&2\\0{,}6&0{,}3&0{,}1\end{pmatrix}$,…$ Фото задания

Даны две случайные величины и их распределения: $X\sim\begin{pmatrix}-1&1&2\\0{,}6&0{,}3&0{,}1\end{pmatrix}$, $Y\sim\begin{pmatrix}-2&0&1\\0{,}1&0{,}7&0{,}2\end{pmatrix}$. Найдите дисперсию случайной величины $Y-2X$.

Accepted Answer

В условии не указано, независимы ли $X$ и $Y$. Поэтому дисперсию $Y-2X$ нельзя однозначно найти без их ковариации.

По данным распределениям:

$\mathbb E[X]=(-1)\cdot0.6+1\cdot0.3+2\cdot0.1=-0.1$,

$\mathbb E[X^2]=1\cdot0.6+1\cdot0.3+4\cdot0.1=1.3$, поэтому $\operatorname{Var}(X)=1.3-(-0.1)^2=1.29$.

$\mathbb E[Y]=(-2)\cdot0.1+0\cdot0.7+1\cdot0.2=0$,

$\mathbb E[Y^2]=4\cdot0.1+0+1\cdot0.2=0.6$, поэтому $\operatorname{Var}(Y)=0.6$.

Используем формулу $\operatorname{Var}(Y-2X)=\operatorname{Var}(Y)+4\operatorname{Var}(X)-4\operatorname{Cov}(X,Y)$. Следовательно, $\operatorname{Var}(Y-2X)=0.6+4\cdot1.29-4\operatorname{Cov}(X,Y)=5.76-4\operatorname{Cov}(X,Y)$.

Если в задаче подразумевается независимость величин, то $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$, и искомая дисперсия равна $5.76$. Без предположения независимости необходима дополнительная информация о совместном распределении (или ковариации) $X$ и $Y$.

Даны две случайные величины и их распределения: \(X\sim\begin{pmatrix}-1&1&2\\0{,}6&0{,}3&0{,}1\end{pmatrix}\), \(Y\sim\begin{pmatrix}-2&0&1\\0{,}1&0{,}7&0{,}2\end{pmatrix}\). Найдите дисперсию случайной величины \(Y-2X\).

Ответ: