Даны два числа. Если первое из них умножить на 7 и прибавить второе, умноженное на 8, то получится 290. Если же первое умножить на 8 и прибавить второе, умноженное на 3, получится 270. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим первое число как x, а второе число как y.

Составим систему уравнений по условию задачи:

1. Первое условие: "Если первое из них умножить на 7 и прибавить второе, умноженное на 8, то получится 290".
   \( 7x + 8y = 290 \)
2. Второе условие: "Если же первое умножить на 8 и прибавить второе, умноженное на 3, получится 270".
   \( 8x + 3y = 270 \)

Теперь решим полученную систему уравнений методом подстановки или сложения. Воспользуемся методом подстановки:

1. Выразим y из первого уравнения:
   \( 8y = 290 - 7x \)
   \( y = \frac{290 - 7x}{8} \)
2. Подставим это выражение во второе уравнение:
   \( 8x + 3 \left( \frac{290 - 7x}{8} \right) = 270 \)
3. Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:
   \( 64x + 3(290 - 7x) = 270 \cdot 8 \)
   \( 64x + 870 - 21x = 2160 \)
4. Приведём подобные слагаемые:
   \( 43x = 2160 - 870 \)
   \( 43x = 1290 \)
5. Найдем x:
   \( x = \frac{1290}{43} \)
   \( x = 30 \)
6. Теперь найдём y, подставив значение x в выражение для y:
   \( y = \frac{290 - 7 \cdot 30}{8} \)
   \( y = \frac{290 - 210}{8} \)
   \( y = \frac{80}{8} \)
   \( y = 10 \)

Проверим полученные значения:

1. \( 7 \cdot 30 + 8 \cdot 10 = 210 + 80 = 290 \) (Верно)
2. \( 8 \cdot 30 + 3 \cdot 10 = 240 + 30 = 270 \) (Верно)

Ответ: Первое число равно 30, второе число равно 10.