Даны два числа. Если к первому числу прибавить половину второго, то получится 250, а если из второго вычесть третью часть первого, получится первое число. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть первое число — \( x \), а второе число — \( y \).

Согласно условию задачи, составим систему уравнений:

1. \( x + \frac{1}{2}y = 250 \)
2. \( y - \frac{1}{3}x = x \)

Упростим второе уравнение:

\( y = x + \frac{1}{3}x \)

\( y = \frac{4}{3}x \)

Подставим значение \( y \) из второго уравнения в первое:

\( x + \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}x\right) = 250 \)

\( x + \frac{4}{6}x = 250 \)

\( x + \frac{2}{3}x = 250 \)

\(\frac{3}{3}x + \frac{2}{3}x = 250 \)

\(\frac{5}{3}x = 250 \)

\( x = 250 \cdot \frac{3}{5} \)

\( x = 50 \cdot 3 \)

\( x = 150 \)

Теперь найдем \( y \), подставив значение \( x \) во второе уравнение:

\( y = \frac{4}{3} \cdot 150 \)

\( y = 4 \cdot 50 \)

\( y = 200 \)

Проверим первое условие: \( 150 + \frac{1}{2} \cdot 200 = 150 + 100 = 250 \). Условие выполнено.

Проверим второе условие: \( 200 - \frac{1}{3} \cdot 150 = 200 - 50 = 150 \). Условие выполнено.

Ответ: Первое число — 150, второе число — 200.